Schwere, Elektricität und Magnetismus:364

Neunter Abschnitt. §. 109.

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§. 109. Fundamentalsatz für die Entwicklung nach Kugelfunctionen.

Vorlage:Idt2Es kommt nun vor allen Dingen darauf an, zu beweisen, dass eine Function von $\theta$ und $\phi$, die für alle Werthe dieser Variabeln von $\theta =0$ bis $\theta =\pi$ und von $\phi =0$ bis $\phi =2\pi$ einwerthig und endlich, übrigens aber ganz willkürlich gegeben ist, sich immer nach Kugelfunctionen entwickeln lässt, und dass für jede willkürlich gegebene Function nur eine solche Entwicklung möglich ist.

Vorlage:Idt2Zu dem Ende gehen wir auf die Gleichung (3) des §. 80 zurück, die hier so zu schreiben ist

Vorlage:MathForm1

Für $r>a$ erhalten wir nach (1) und (2) des §. 107

Vorlage:MathForm1

Daraus berechnet sich für $r>a$

Vorlage:MathForm1

Dagegen haben wir für $r<a$ nach (1) und (3) des §. 107

Vorlage:MathForm1

Folglich ergibt sich für $r<a$

Vorlage:MathForm1

Die Gleichung (2) ist noch gültig für $r=a+0$, die Gleichung (3) für $r=a-0$. Setzen wir also in beiden Gleichungen $r=a$ und führen die in (1) vorgeschriebene Subtraction aus, so ergibt sich mit Rücksicht auf §. 106 (6) der merkwürdige Satz:

Vorlage:MathForm1

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