Schwere, Elektricität und Magnetismus:363

Die Kugelfunction $n$ten Ranges.

<section begin=t1 />drucke (10) noch die $(2n+1)$ unbestimmten constanten Coefficienten auf

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Vorlage:Idt2Eine wichtige Bemerkung ist noch über die constante Grösse $Q_0$ zu machen. Im äusseren Raume stimmt nemlich die von dem wirklich vorhandenen Erdmagnet herrührende Potentialfunction $V^{*}$ überein mit der Function $V$, die von der fingirten Belegung der Oberfläche herrührt und in der Gleichung (6) des vorigen Paragraphen entwickelt ist. Es gilt also für jeden Punkt $(x,y,z)$ im äusseren Raume die Gleichung

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Nun können wir aber (wenn die bekannte Vorzeichen-Aenderung vorgenommen wird) den Satz in Anwendung bringen, der in der Gleichung (6) des §. 18 ausgesprochen ist. Hier bedeutet $r$ dasselbe, was dort mit $R$ bezeichnet ist. Wir erhalten danach

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Aus (11) berechnet sich

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Zieht man die Gleichung (2) des §. 105 in Betracht, so ergibt sich aus (12) und (13), dass

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sein muss. Wir dürfen also in den Gleichungen (6), (7), (8) des vorigen Paragraphen die Summirung mit $n=1$ anfangen.

Vorlage:Idt2Uebrigens sieht man, dass auch für die fingirte Belegung der Oberfläche

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ist. Denn wir haben nach dem eben citirten Satze [§. 18, (6)]

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und da für jeden Punkt im äusseren Raume $V=V^{*}$ ist, so ergibt sich

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und damit ist die Gleichung (15) bewiesen.<section end=t1 />