Schwere, Elektricität und Magnetismus:359

Die Kugelfunction $n$ten Ranges.

<section begin=t1 /> Vorlage:Idt2Vorlage:Idt2ferner für einen Punkt im Innern der Erde $(r<a)$

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Vorlage:Idt2Vorlage:Idt2endlich für einen Punkt der Erdoberfläche $(r=a)$

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In den drei letzten Gleichungen hat $Q_n$ überall dieselbe Bedeutung, nemlich

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Nun ist aber $P_n$ eine ganze Function $n$ten Grades von $\cos \gamma$ d. h. nach Gleichung (5) des vorigen Paragraphen eine ganze Function $n$ten Grades von den drei Grossen $\cos \theta ,\sin \theta \cos \phi ,\sin \theta \sin \phi$. Folglich gilt dasselbe in Betreff der Function $Q_n$. Um einen Ausdruck für $Q_n$ zu erhalten, haben wir zu beachten, dass die Function $V$ im äusseren Raume sowohl wie im Innern der Erde der Gleichung von Laplace Genüge leisten muss. Es lässt sich dabei nach (9) und (4) vorab bemerken, dass $Q_0=\text{const.}$ ist. <section end=t1 /> <section begin=t2 />

§. 108. Die Kugelfunction $n$ten Ranges.

Vorlage:Idt2Die Gleichung von Laplace lautet für Kugelcoordinaten [§. 29, (4)]

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Nehmen wir zunächst einen Punkt im äusseren Raume, so ergibt sich aus Gleichung (6) des vorigen Paragraphen:

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<section end=t2 />