Schwere, Elektricität und Magnetismus:357

Entwicklung der Function $V$ nach Kugelfunctionen.

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Vorlage:Idt2Auf diese Weise gelangt man zu einem völlig bestimmten Ausdrucke für die Function $V$, und wenn dieser hergestellt ist, so ergibt sich die Dichtigkeit der fingirten magnetischen Belegung der Erdoberfläche mit Hülfe der Gleichung (3) des §. 80.

Vorlage:Idt2Nach diesem Ueberblick über den einzuschlagenden Weg gehen wir zu der Durchführung der Rechnung selbst über. <section end=t1 /> <section begin=t2 />

§. 107. Entwicklung der Function $V$ nach Kugelfunctionen.

Vorlage:Idt2Das Element $d{\sigma }^{\prime }$ der Kugeloberfläche vom Radius $a$ lässt sich ausdrücken

Vorlage:MathForm1

Führt man dies in die Gleichung (3) des vorigen Paragraphen ein und benutzt die Gleichungen (4) und (6) desselben Paragraphen, so erhält man

Vorlage:MathForm1

Nun können wir für $r>a$ entwickeln:

Vorlage:MathForm1

Dagegen hat man für $r<a$:

Vorlage:MathForm1

Die auftretenden Coefficienten $P_0,P_l,P_2,\dots P_n\dots ,$ sind in beiden Entwicklungen dieselben. Es sind algebraische, rationale, ganze Functionen von $\cos \gamma$, und zwar jede von dem Grade, den ihr Index angibt. Es ist nicht schwer, einen Ausdruck für $P_n$ zu finden. Man hat nur zu beachten, dass die Gleichungen (2) und (3) auf der einen Entwicklung beruhen

Vorlage:MathForm1

wenn $\alpha$ positiv und kleiner als $1$ genommen wird. Man kann aber schreiben<section end=t2 />