Schwere, Elektricität und Magnetismus:331

Der erweiterte Satz von Lagrange.

<section begin=t1 />der ersten Potenz aufträten. Denn dadurch würde der zweite Bestandttheil von $\frac{dD}{dt}$ mit Gliedern behaftet sein, die von $x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }$ frei wären. Man sieht also, dass in $D$ die Grössen $x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }$ mindestens in der zweiten Potenz enthalten sein müssen.

Vorlage:Idt2Am einfachsten nehmen wir für $D$ eine homogene Function zweiten Grades von $x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }$, also

Vorlage:MathForm1

Die Coefficienten $A_{ij}\dots F_{ij}$ sind Functionen der Coordinaten sämmtlicher Punkte. Die Derivirte $\frac{dD}{dt}$ besteht dann aus einer homogenen Function dritten Grades von $x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }$ und einer homogenen Function ersten Grades derselben Variabeln und die auftretenden Coefficienten sind Functionen der Coordinaten $x,y,z$. Nun hat aber die homogene lineare Function von $x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }$, welche in $\frac{dD}{dt}$ vorkommt, ebenso wie die Function $\frac{dS}{dt}$, von selbst schon die Form (1) und lässt sich in keiner andern Weise in diese Form bringen. Dagegen kann man die in $\frac{dD}{dt}$ auftretende Function dritten Grades in sehr mannigfaltiger Weise in die Form (1) bringen. Aus dem Ausdruck für die Arbeit sind also die bewegenden Kräfte nicht völlig bestimmt.

Vorlage:Idt2Der Satz von der Erhaltung der lebendigen Kraft spricht sich aus in der Formel

Vorlage:MathForm1

Wir fragen nun, wie die Bewegung vor sich gehen müsse, damit dieser Satz in Gültigkeit sei.

Vorlage:Idt2Zur Beantwortung dieser Frage haben wir einen Fingerzeig im §. 43. Dort ist bewiesen:

Vorlage:Idt2Wenn $P$ nur von den Coordinaten $q_1,q_2,\dots$ abhängig ist und der Ausdruck dieser Function die Zeit $t$ explicite nicht enthält, wenn ferner $T$ eine homogene Function zweiten Grades von ${q_1}^{\prime },{q_2}^{\prime },\dots$ ist, so ist

Vorlage:MathForm1

<section end=t1 />