Schwere, Elektricität und Magnetismus:330

Achter Abschnitt. §. 95.

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§. 95. Der erweiterte Satz von Lagrange: $\delta \underset{0}{\overset{t}{\int }}(T-D+S)dt=0$.

Vorlage:Idt2Wir betrachten ein System von bewegten materiellen Theilchen. Es sei $T$ die lebendige Kraft dieses Systems. Der Ausdruck für die zur Zeit $t$ geleistete Arbeit (das Potential) möge in zwei Theile zerlegt werden

Vorlage:MathForm1

so dass $S$ nur von den Coordinaten der Theilchen abhängig ist, $D$ ausserdem noch von den Geschwindigkeiten. Wir bezeichnen mit $x,y,z$ die Coordinaten irgend eines der materiellen Punkte und schreiben zur Abkürzung $\frac{dx}{dt}=x^{\prime },\frac{dy}{dt}=y^{\prime },\frac{dz}{dt}=z^{\prime }$, und entsprechend die zweiten Derivirten. Die Componenten der auf den Punkt $(x,y,z)$ wirkenden Kraft seien $X,Y,Z$. In dem Zeitelement $dt$, nach Ablauf der Zeit $t$, wird die Arbeit geleistet

Vorlage:MathForm1

Die Summirung ist über sämmtliche Punkte auszudehnen. Diese Arbeit ist gleich dem Zuwachs, welchen das Potential in dem Zeitelement $dt$ erleidet:

Vorlage:MathForm1

Nun haben wir aber

Vorlage:MathForm1

Vorlage:MathForm1

Aus der Gleichung (2) geht hervor, dass in $\frac{dS}{dt}+\frac{dD}{dt}$ kein Glied vorkommen darf, das nicht eine von den Geschwindigkeits-Componenten als Factor enthielte. Die Derivirte $\frac{dS}{dt}$ genügt dieser Bedingung. Damit dasselbe mit $\frac{dD}{dt}$ der Fall sei, darf in $D$ kein Glied vorhanden sein, in welchem die Geschwindigkeiten nur in<section end=t1 />