Schwere, Elektricität und Magnetismus:303

Aufgabe des §. 81 für einen mehrfach zusammenhangenden Körper.

<section begin=t1 />sein für jeden Punkt der Oberfläche dos $q$fach zusammenhangenden Körpers. Dabei ist mit $n$ die nach innen gezogene Normale dieses Punktes gemeint. Es soll

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sein für je zwei Punkte, die einander unendlich nahe auf entgegengesetzten Seiten des Querschnittes $Q_{\mu }$ liegen. Es soll endlich für denselben Querschnitt

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sein, wenn wir mit $P$ eine Strecke bezeichnen, die von einem Punkte des Querschnittes $Q_{\mu }$ aus auf der Normale abgetragen ist, positiv nach der einen, negativ nach der andern Seite.

Vorlage:Idt2Im Uebrigen soll die Function $v_{\mu }$ nebst ihren Derivirten überall endlich und stetig variabel sein innerhalb des ganzen $q$fach zusammenhangenden Raumes, in welchen der gegebene $(q+1)$fach zusammenhangende Körper durch den Querschnitt $Q_{\mu }$ verwandelt wird.

Vorlage:Idt2Diese Aufgabe ist im §. 60 gelöst. Man braucht nur die dort vorkommende Grösse $k$ zu beiden Seiten des Querschnittes $Q_{\mu }$ und durch den ganzen Körper hindurch constant zu nehmen. Es ist ferner bewiesen, dass die Aufgabe nur eine Lösung zulässt. Nimmt man jetzt der Reihe nach $\mu =l,2,\dots q$, so erhält man $q$ verschiedene Functionen

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bei denen die Gleichungen (2), (3), (4), (5) erfüllt sind. Die in (4) vorgeschriebene Unstetigkeit tritt für jede Function nur an einem der Querschnitte $Q_1,Q_2,Q_3,\dots Q_q$ ein und für jede an einem besondern.

Vorlage:Idt2Wir setzen nun

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im Innern des gegebenen Körpers. Da die im äusseren Raume gegebene Function $V$ bei der Herstellung von $V^{\prime }$ nach §. 81 ihren Einfluss (wenn man sich so ausdrücken darf) bereits völlig geltend gemacht hat, so muss jetzt nothwendig für den äusseren Raum

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genommen werden. Dann genügt die Function<section end=t1 />