Schwere, Elektricität und Magnetismus:294

Sechster Abschnitt. §. 81.

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Dieses Integral müsste also den Werth Null haben, was nicht anders möglich ist, als wenn man $v=\text{const.}$ setzt. Hieraus würde aber ohne weiteres folgen:

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nach Gleichung (3), und das steht mit der Nebenbedingung (6) im Widerspruch. Demnach muss $k$ von Null verschieden sein.

Vorlage:Idt2Es bleibt noch zu beweisen, dass es ausser $v$ keine andere Function gibt, welche unter der Bedingung (6) das Integral (5) zu einem Minimum macht. Angenommen, es wäre $u=v+s$ eine Function, die dies leistete, so würde sie die Bedingung erfüllen;

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wenn hier die Constante $h$ unendlich nahe an 1 genommen wird. Nun ist aber nach den Gleichungen (11), (12) und (13):

Vorlage:MathForm1

Folglich lautet die Bedingung (15) jetzt:

Vorlage:MathForm1

Man darf aber die Constante $h^2,$ welche hier unendlich nahe an 1 liegen soll, nicht bloss grösser, sondern auch kleiner als 1 nehmen, und deshalb kann die Bedingung (16) nur dadurch erfüllt werden, dass man setzt:

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Sieht man von einer willkürlichen additiven Constanten ab, so ist demnach $v$ die einzige Function, welche unter Innehaltung der Nebenbedingung (6) das Integral (5) zu einem Minimum macht.

Vorlage:Idt2Endlich kann man noch den Zusammenhang zwischen $k$ und $A$ aufsuchen. Es ist schon bewiesen, dass

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Das dreifache Integral links ist das Minimum $\mathrm{\Omega }(v)$. Auf der<section end=t1 />