Schwere, Elektricität und Magnetismus:285

Fortsetzung.

<section begin=t1 />

§. 78. Fortsetzung: Andere Lösung der Aufgabe.

Vorlage:Idt2Die Aufgabe des vorigen Paragraphen lässt sich auch noch auf einem anderen Wege lösen. Wir setzen

Vorlage:MathForm1

Diese Ausdrücke sind so beschaffen, dass sie die Gleichung (4) des vorigen Paragraphen von selbst erfüllen. Die Gleichungen (1), (2), (3) des vorigen Paragraphen geben jetzt:

Vorlage:MathForm1

Durch diese partiellen Differentialgleichungen sind die Functionen $u_1,u_2,u_3$ noch nicht völlig bestimmt. Denn angenommen, man habe eine Lösung $u_1,u_2,u_3$ gefunden, so bezeichne man mit $F(x,y,z)$ irgend eine Function von $x,y,z$, die mit ihren Derivirten endlich und stetig variabel ist. Dann genügen auch die Functionen

Vorlage:MathForm1

den partiellen Differentialgleichungen (2) und geben vermöge der Gleichungen (1) für $X,Y,Z$ dasselbe wie die Lösung $u_1,u_2,u_3$. Und umgekehrt, wenn man ausser der Lösung $u_1,u_2,u_3$ noch eine andere Lösung $U_1,U_2,U_3$ gefunden hat, so sind die Differenzen

Vorlage:MathForm1

die partiellen Derivirten einer und derselben Function $F(x,y,z)$, resp. nach $x$, nach $y$, nach $z$ genommen. Denn aus den Gleichungen (2) ergibt sich für diese Differenzen:<section end=t1 />