Schwere, Elektricität und Magnetismus:266

Sechster Abschnitt. §. 68.

<section begin=t1 />rechts in positivem Sinne des Umlaufs durch die Begrenzungscurve erstrecke.*)

Vorlage:Idt2In dem besonderen Falle, dass innerhalb des von der Curve umschlossenen Flächengebiets überall

Vorlage:MathForm1

ist, geht die Gleichung (2) über in

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Vorlage:Idt2Uebrigens bleiben, wie man leicht sieht, die Sätze (2) und (4) auch dann gültig, wenn die Curve nicht durchaus in dem Quadranten der positiven $x$ und der positiven $y$ verläuft. Diese Voraussetzung dient nur zur leichteren Entwicklung des Beweises. Ist sie von vorn herein nicht erfüllt, so kann man, da die Curve sich nirgends ins Unendliche erstreckt, durch parallele Verschiebung der Axen es leicht erreichen, dass die verlangte Lage vorhanden ist. <section end=t1 /> <section begin=t2 />

§. 68. Das Integral $\int (Xdx+Qdy+Zdz)$.

Vorlage:Idt2Nach dieser Vorbereitung kehren wir zu dem Integral (4) des §. 66 zurück. Wir nehmen eine stetig gekrümmte Fläche zu Hülfe, die ganz im endlichen Gebiete liegt, und die den vorgeschriebenen Integrationsweg zur vollständigen und alleinigen Begrenzung hat. Die Gleichung dieser Fläche sei

Vorlage:MathForm1

Da der vorgeschriebene Integrationsweg auf der Fläche liegt, so hat man in §. 66, (4)

Vorlage:MathForm1

zu setzen und aus $X,Y,Z$ die Coordinate $z$ mit Hülfe der Gleichung (1) zu eliminiren. Dadurch geht das Integral (4) des §. 66 über in

Vorlage:MathForm1

und hier ist die Integration durch die in der $xy$-Ebene liegende Projection der gegebenen Curve zu erstrecken.<section end=t2 />