Schwere, Elektricität und Magnetismus:265

Hülfssatz aus der Analysis.

<section begin=t1 />Eintrittsstellen, dagegen negativ an allen Austrittsstellen. Bezeichnet man also (nach Zahlwerth und Vorzeichen) mit $d{x}_k$ die Projection von $d{s}_k$ auf der Axe der $x$, so ergibt sich

Vorlage:MathForm1

Danach finden wir

Vorlage:MathForm1

Das lässt sich kürzer schreiben

Vorlage:MathForm1

wobei das Summenzeichen auf der rechten Seite bedeutet, dass die Werthe von $Pdx$ an allen Eintritts- und Austrittsstellen des unendlich schmalen Flächenstreifens genommen werden sollen. Die Integration nach $x$ wird dadurch ausgeführt, dass man nicht einen einzelnen Flächenstreifen in Betracht zieht, sondern alle, die überhaupt (von Parallelen zur $y$-Axe begrenzt) das Flächengebiet durchschneiden. Folglich ergibt sich

Vorlage:MathForm1

und es ist die Integration rechts durch die ganze in sich zurücklaufende Curve zu erstrecken.

Vorlage:Idt2In entsprechender Weise kommen wir zu der Gleichung

Vorlage:MathForm1

und auch hier ist das Integral auf der rechten Seite (im positiven Sinne des Umlaufs) durch die ganze Curve zu erstrecken.

Vorlage:Idt2Danach gelangen wir zu dem Resultat, dass

Vorlage:MathForm1

ist, vorausgesetzt, dass wir unter $P$ und $Q$ zwei Functionen von $x$ und $y$ verstehen, die einwerthig, endlich und stetig variabel sind innerhalb des Flächengebietes, über welches die Integration auf der linken Seite ausgedehnt wird, und dass man die Integration<section end=t1 />