Schwere, Elektricität und Magnetismus:243

Eindeutige Existenz von $V$.

<section begin=t1 />nur unendlich wenig verschieden sind. Das Oberflächen-Integral, welches über die beiden Hüllen einer Unstetigkeitsfläche erstreckt werden soll, ist demnach so zu schreiben:

Vorlage:MathForm1

Als Beitrag zu der Gleichung (5) ist dieses Integral einmal über alle Unstetigkeitsflächen zu erstrecken. Damit es den Werth Null erhalte, hat man für jeden Punkt $(x,y,z)$ in allen Unstetigkeitsflächen gleich Null zu setzen, was unter dem letzten Integral mit $sd\sigma$ multiplicirt ist. Dies liefert die Bedingungsgleichung (3) des vorigen Paragraphen.

Vorlage:Idt2Da nun unter allen zulässigen Functionen $v$ mindestens eine das Integral (1) zu einem Minimum macht, so erfüllt diese eine Function $V$ die Bedingungen (1), (2), (3) des vorigen Paragraphen. Es lässt sich noch zeigen, dass, abgesehen von einer additiven Constanten, diese Function $V$ die einzige Lösung der Aufgabe ist. Angenommen, es gäbe ausser $V$ noch eine andere Function $V+s$, welche das Integral (1) ebenfalls zu einem Minimum macht, so würde die Bedingung dafür lauten:

Vorlage:MathForm1

wenn jetzt unter $h$ eine Constante verstanden wird, die unendlich nahe an 1 liegt. Beachtet man aber, dass die Function $V$ der Gleichung (4) Genüge leistet, so ergibt sich:

Vorlage:MathForm1

und

Vorlage:MathForm1

Folglich geht die Bedingung (6) in folgende Form über:

Vorlage:MathForm1

Man darf aber die Constante $h^2$, welche unendlich nahe an 1 liegen soll, nicht bloss grösser, sondern auch kleiner als 1 nehmen. Die Bedingung (7) lässt sich deshalb nur dadurch erfüllen, dass<section end=t1 />