Schwere, Elektricität und Magnetismus:188

Dritter Abschnitt. §. 43.

<section begin=t1 />und hierin ist $i$ der Reihe nach $=1,2,\dots k$ zu setzen. Dann hat man in (6) ein System von $k$ simultanen Differentialgleichungen, durch deren Integration die Grössen $q_1,q_2,\dots q_k$ als Functionen von $t$ gefunden werden. <section end=t1 /> <section begin=t2 />

§. 43. Der Satz von der Erhaltung der lebendigen Kraft hergeleitet aus dem Princip des Lagrange.

Vorlage:Idt2Aus dem Princip des Lagrange lässt sich die Gültigkeit des Satzes von der Erhaltung der lebendigen Kraft herleiten, unter der Voraussetzung, dass das Potential $P$ die Variable $t$ nicht explicite enthält. Da der Satz von der Erhaltung der lebendigen Kraft in der Gleichung sich ausspricht:

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so kommt es nur darauf an, zu beweisen, dass

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ist. Nun berechnet sich aber

Vorlage:MathForm1

wenn $P$, wie vorausgesetzt wird, die Variable $t$ nicht explicite enthält. Wir haben im vorigen Paragraphen gesehen, dass $T$ eine homogene Function zweiten Grades von den Grössen $q_1^{\prime },q_2^{\prime },\dots q_k^{\prime }$ ist, also:

Vorlage:MathForm1

Vorlage:Idt2Hier sollen $i$ und $j$ irgend welche ganzen Zahlen aus der Reihe $1,2,3,\dots k$ sein. Jeder Werth, den $i$ annehmen kann, soll mit jedem Werthe von $j$ einmal zusammengestellt, und die entstehenden einzelnen Ausdrücke sollen addirt werden. Danach ist $T$ eine Summe von $k^2$ Gliedern, von denen jedes seinen eigenen Coefficienten $a_{ij}$ hat. Diese Coefficienten, für welche wir allgemein die Relation $a_{ij}=a_{ji}$ feststellen, sind Functionen der Grössen $q_1,q_2,\dots q_k$.

Vorlage:Idt2Aus der Gleichung (2) ergibt sich durch Differentiation

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<section end=t2 />