Schwere, Elektricität und Magnetismus:167

Princip der Erhaltung der lebendigen Kraft.

<section begin=t1 />links und rechts durch Addition und integriren nach $t$. Dadurch ergibt sich

Vorlage:MathForm1

Wir bezeichnen mit $s$ die Länge der Bahn, welche der materielle Punkt bis zum Ablauf der Zeit $t$ durchlaufen hat, so dass $s=0$ ist für $t=0$. Dann haben wir $d{s}^2=d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2$, und die Gleichung (2) geht über in

Vorlage:MathForm1

Auf der rechten Seite dieser Gleichung können wir auch $s$ als Integrations-Variable einführen und unter dem Integralzeichen schreiben

Vorlage:MathForm1

Hier sind $\frac{dx}{ds},\frac{dy}{ds},\frac{dz}{ds}$ die Cosinus der Winkel, welche das Bahnelement $ds$ mit den positiven Coordinatenaxen einschliesst. Bezeichnet man nun ferner mit $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ die Winkel, welche die Richtung von $K$ mit den Richtungen der Componenten bildet, so findet sich

Vorlage:MathForm1

Dabei ist unter $(Ks)$ der Winkel zu verstehen, welchen die im Punkte $(x,y,z)$ angelegte Tangente der Bahn mit der Richtung der bewegenden Kraft einschliesst.

Vorlage:Idt2Die Gleichung (3) lautet hiernach in anderer Form

Vorlage:MathForm1

Wir bezeichnen die Geschwindigkeit $\frac{ds}{dt}$ mit $v$ und den Werth, den sie zur Zeit $t=0$ hat, mit $v_0$. Nehmen wir die bestimmte Integration vor und setzen für die Zeit die Grenzen $0$ und $t$, also für den Weg die Grenzen $0$ und $s$ fest, so ergibt sich<section end=t1 />