Schwere, Elektricität und Magnetismus:163

Eindeutige Existenz der Function $U$. Dirichlet’s Princip.

<section begin=t1 />Diese Gleichung sagt aber aus, dass, wenn $\mathrm{\Omega }(v)$ ein Minimum ist, die ersten Derivirten von $v$ im Innern des Raumes $S$ nicht unstetig sind.

Vorlage:Idt2Es fragt sich noch, ob ausser der einen Function $u=v$, welche das Integral $\mathrm{\Omega }(u)$ zu einem Minimum macht, noch eine andere $u=v+s$ dieselbe Eigenschaft besitzt. Unter $s$ soll hier wieder eine Function verstanden werden, welche in der Oberfläche von $S$ den Werth Null hat und im Innern derselben Bedingung genügt wie die Functionen $u$. Nun ist $\mathrm{\Omega }(v+s)$ ein Minimum, wenn für eine Constante $h$, die unendlich nahe an 1 heranrückt, die Bedingung erfüllt ist:

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Vorlage:Idt2Wir haben nach den Gleichungen (4) und (5)

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und wenn man hierin $h=1$ setzt:

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Dadurch geht die Bedingung (11) in folgende über

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Da man aber die Constante $h^2$, die unendlich nahe an 1 liegen soll, nicht bloss grösser, sondern auch kleiner als 1 nehmen darf, so kann der Bedingung (12) nur dadurch genügt werden, dass man setzt:

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Bei der eigenthümlichen Form des Integrals $\mathrm{\Omega }(s)$ kann diese Gleichung nur dann zu Stande kommen, wenn im Innern des Raumes $S$ überall

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d. h. $s=\text{const.}$ ist. Der constante Werth von $s$ muss aber Null sein, weil in der Oberfläche $s=0$ ist.

Vorlage:Idt2Von allen den Functionen $u$, welche die in der Oberfläche des Raumes $S$ gegebene Function $v$ ins Innere stetig fortsetzen, gibt es also eine und nur eine, die das Integral (2) zu einem Minimum macht. Diese Function und ihre ersten Derivirten sind im Innern von $S$ überall endlich und stetig variabel, und sie selbst erfüllt die partielle Differentialgleichung (8).<section end=t1 />