Schwere, Elektricität und Magnetismus:161

Eindeutige Existenz der Function $U$. Dirichlet's Princip.

<section begin=t1 />Folglich ist

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und danach findet sich

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Vorlage:Idt2Wird nun für $u=v+hs$ die Bedingung (3) befriedigt, so ist der Coefficient von $2h$ auf der rechten Seite der Gleichung (4) nothwendigeweise gleich Null. Denn sonst könnte man das Vorzeichen von $h$ so wählen, dass das Product

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negativ ausfiele, und den Zahlwerth von $h$ so klein, dass das positive Glied $h^2\mathrm{\Omega }(s)$ kleiner würde als der absolute Werth des vorhergehenden negativen Gliedes. Dann hätte man

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was mit (3) im Widerspruch steht. Also ist

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die nothwendige und, wie man leicht sieht, auch die ausreichende Bedingung für das Zustandekommen des Minimum $\mathrm{\Omega }(v).$ Die linke Seite der Gleichung (5) transformiren wir nach §. 20 und erhalten

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Das erste Integral auf der rechten Seite ist über die Oberfläche des Raumes $S$ zu erstrecken. Sein Werth ist null, da nach der Voraussetzung in jedem Punkte der Oberfläche $s=0$ ist. Die Bedingung (5) für das Minimum geht also über in<section end=t1 />