Schwere, Elektricität und Magnetismus:159

Eindeutige Existenz der Function $U$. Dirichlet's Prinzip.

<section begin=t1 />Gauss seiner Function $U$ zuschreibt. Man darf also den Satz von Gauss speciell so aussprechen: Auf der Oberfläche eines gegebenen Raumes $S$ lassen sich immer in einer und nur in einer Weise entweder positive, oder theils positive, theils negative Massen so ausbreiten, dass die Function $V+\frac{1}{r}$ für jeden Punkt der Oberfläche den Werth Null hat. Diese Function befriedigt alle Bedingungen, welche Green für seine Function $U$ aufstellt.

Vorlage:Idt2Dieser Beweis ist, wie man sieht, nicht rein analytisch. Seine Einkleidung ist der Theorie der Potentialfunction selbst entnommen. Einen rein analytischen Beweis hat später Dirichlet gegeben.*)

Vorlage:Idt2Der Satz von Dirichlet lautet:

Vorlage:Idt2Ist die Function $v$ einwerthig, endlich und stetig variabel für jeden Punkt in der Oberfläche eines begrenzten Raumes $S$ gegeben, so lässt sie sich immer und nur auf eine Weise für das Innere so bestimmen, dass sie auch da einwerthig, endlich und stetig variabel ist und der partiellen Differentialgleichung

Vorlage:MathForm1

Genüge leistet.

Vorlage:Idt2Um diesen Satz zu beweisen, bilden wir das über den Raum $S$ auszudehnende Integral

Vorlage:MathForm1

Vorlage:Idt2Darin soll mit $u$ eine Function bezeichnet werden, die in der Oberfläche des Raumes $S$ überall mit der gegebenen Function $v$ übereinstimmt, die aber im Innern des Raumes nur an die Bedingung geknüpft ist, dass sie selbst und ihre ersten Derivirten überall einwerthig, endlich und stetig variabel seien. Solcher Functionen $u$ gibt es unendlich viele. Bezeichnet man eine von ihnen mit $u_1,$ so lässt jede andere sich in die Form bringen

Vorlage:MathForm1

wenn $h$ eine passend zu wählende Constante bedeutet und $s$ eine<section end=t1 />