Schwere, Elektricität und Magnetismus:157

Allgemeine Eigenschaften der Green'schen Function $U$.

<section begin=t1 />genügen im Innern von $S_1$ beide Functionen der partiellen Differentialgleichung (1). Folglich ist nach dem Satze von Green (§. 20)

Vorlage:MathForm1

wenn das Integral über die Begrenzung von $S_1$ erstreckt wird und $n$ die in der Begrenzung nach dem Innern von $S_1$ gezogene Normale bezeichnet. Die Begrenzung von $S_1$ besteht aus der Oberfläche des Raumes $S$ und aus den beiden Kugelflächen um $\epsilon$ und ${\epsilon }^{\prime }.$ In der Oberfläche von $S$ sind $U_{\epsilon }$ und $U_{{\epsilon }^{\prime }}$ beide gleich Null, folglich liefert diese Oberfläche zu dem Integral (2) ebenfalls den Beitrag Null. Für die Kugelfläche um $\epsilon$ (Fig. 26) fällt die Richtung von $n$ mit der Richtung der wachsenden $t$ zusammen. Das Oberflächen-Element $d\sigma$ ist $t^{2}d\omega$, wenn mit $d\omega$ das Element auf einer Kugel vom Radius 1 bezeichnet wird. Die um $\epsilon$ gelegte Kugelfläche liefert also zu dem Integral (2) den Beitrag

Vorlage:MathForm1

Nun sind $U_{{\epsilon }^{\prime }},$ und $\frac{\partial U_{{\epsilon }^{\prime }}}{\partial t}$ in der Kugelfläche endlich. Ferner ist in ihr

Vorlage:MathForm1

Folglich haben wir für ein unendlich abnehmendes $t$

Vorlage:MathForm1

und der Beitrag, welchen die Kugelfläche um $\epsilon$ zu dem Integral (2) liefert, hat für $\lim t=0$ den Grenzwerth

Vorlage:MathForm1

Vorlage:Idt2Ebenso findet sich der Beitrag, welchen die um $\epsilon$ gelegte Kugelfläche zu dem Integral (2) liefert. Sein Grenzwerth für $\lim t=0$ ist

Vorlage:MathForm1

Der in Gleichung (2) ausgesprochene Satz lautet jetzt also<section end=t1 />