Schwere, Elektricität und Magnetismus:156

Zweiter Abschnitt. §. 33.

<section begin=t1 />

§. 33. Allgemeine Eigenschaften der Green'schen Function $U.$

Vorlage:Idt2Wir gehen zu der Betrachtung der allgemeinen Eigenschaften der Function $U$ über. Sie ist im §. 21 durch drei charakteristische Merkmale definirt:

Vorlage:Idt2Erstens: Sie genügt im Innern des Raumes $S$ der partiellen Differentialgleichung

Vorlage:MathForm1

Vorlage:Idt2Zweitens: Sie hat in der Oberfläche des Raumes $S$ überall den Werth Null.

Vorlage:Idt2Drittens: Sie ist im Innern des Raumes $S$ überall endlich und stetig variabel, ausser im Punkte $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$, wo sie unendlich wird wie $\frac{1}{t}$, wenn

Vorlage:MathForm1

Vorlage:Idt2Hiernach ist

$U$

eine Function einerseits von den Coordinaten

$x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }$

des Unstetigkeitspunktes, andererseits von den Coordinaten

$x,y,z$

irgend eines Punktes im Innern oder auf der Oberfläche des Raumes

$S$

. Wir wollen mit

$U_{\epsilon }$

die Function

$U$

bezeichnen,

Datei:Riemann Fig 26.png

Fig. 26.

welche im Punkte

$\epsilon$

unendlich wird, und mit

$U_{\epsilon }({\epsilon }^{\prime })$

den Werth, welchen sie im Punkte

${\epsilon }^{\prime }$

annimmt. Ebenso soll

${U_{\epsilon }}^{\prime }$

die Function

$U$

sein, welche im Punkte

${\epsilon }^{\prime }$

unendlich wird, und

${U_{\epsilon }}^{\prime }(\epsilon )$

soll den Werth bezeichnen, den sie im Punkte

$\epsilon$

annimmt. Um die Punkte

$\epsilon$

und

${\epsilon }^{\prime }$

als Mittelpunkte legen wir zwei Kugelflächen mit den Radien

$t$

und

$t^{\prime }$

. Den inneren Raum dieser Kugeln schliessen wir

von dem Raume $S$ aus und bezeichnen mit $S_1$ den Raum, der übrig bleibt. Dann sind $U_{\epsilon }$ und $U_{{\epsilon }^{\prime }}$, sowie ihre ersten Derivirten im Innern von $S_1$ überall endlich und stetig variabel. Ausserdem<section end=t1 />