Schwere, Elektricität und Magnetismus:155

Potentialfunction einer nicht homogenen Kugel.

<section begin=t1 />

Vorlage:Idt2Wir haben noch zu zeigen, dass im allgemeinen, d. h. abgesehen von einzelnen Ausnahmefällen,

$F^{\prime }(\theta )=0$

ist für

$\theta =0$

. Zu dem Ende ziehen wir im Pol der Kugel (Fig. 25) zwei Tangenten, parallel resp. zu den Axen der positiven

$x$

und der positiven

$y$

, und

Datei:Riemann Fig 25.png

Fig. 25.

bezeichnen die auf ihnen gezählten Strecken resp. mit

$\xi$

und

$\eta$

. Nehmen wir dann auf irgend einem Meridian, der mit dem Anfangsmeridian den Winkel

$\phi$

einschliesst, vom Pol aus eine unendlich kleine Strecke

$\theta$

, so darf man diese durch ihre Tangente ersetzen und hat (unter Vernachlässigung der höheren Potenzen von

$\theta$

) die Gleichungen

Vorlage:MathForm1

Setzen wir voraus, dass $f(\theta ,\phi )$ in der Nähe des Pols endliche Derivirte hat, so können wir nach Taylor's Satze entwickeln

Vorlage:MathForm1

Dabei sind die nicht hingeschriebenen Glieder der zweiten und höheren Potenzen von $\theta$ proportional. Hieraus erhalten wir

Vorlage:MathForm1

In der Entwicklung von $F(\theta )$ nach Potenzen von $\theta$ ist also der Coefficient der ersten Potenz gleich Null, d. h.

Vorlage:MathForm1

was zu beweisen war.

Vorlage:Idt2In besonderen Fällen können Ausnahmen eintreten, die dann eine besondere Untersuchung nöthig machen.<section end=t1 />