Schwere, Elektricität und Magnetismus:151

Potentialfunction einer nicht homogenen Kugel.

<section begin=t1 /> Vorlage:Idt2Setzt man dies in Gleichung (4) ein, so erhält man

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und es gilt das obere oder das untere Zeichen, je nachdem $r{\text{'}}^2-a^2$ positiv oder negativ ist.

Vorlage:Idt2Es fragt sich, welchen Werth $V^{\prime }$ annimmt für $r^{\prime }=a$. Dies ist leicht vorauszusagen, wenn man daran denkt, dass der Punkt $(r^{\prime },{\theta }^{\prime },{\phi }^{\prime })$ auf der Polaraxe liegt $(x^{\prime }=0,y^{\prime }=0,z^{\prime }=r)$. Für $r^{\prime }=a$ rückt er also in den Pol der Kugeloberfläche, und für diesen ist ${\theta }^{\prime }=0$ und ${\phi }^{\prime }$ beliebig. Es muss also dann $V^{\prime }$ in den Werth übergehen, den $f(\theta ,\phi )$ für $\theta =0$ annimmt, und dieser Werth muss von $\phi$ unabhängig sein. Wir wollen zeigen, dass das wirklich aus der Gleichung (6) sich ergibt.

Vorlage:Idt2Wir setzen zur Abkürzung

Vorlage:MathForm1

Dann ist $F(\theta )$ der Mittelwerth von allen den Werthen, welche die Function $f(\theta ,\phi )$ auf dem Parallelkreis von der Poldistanz $a\theta$ annimmt. Bei dieser abgekürzten Schreibweise geht die Gleichung (6) in folgende über:

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Vorlage:Idt2Betrachten wir zunächst das unbestimmte Integral, so gibt die Integration nach Theilen:

Vorlage:MathForm1

Vorlage:Idt2Geht man also zu der Integration zwischen den vorgeschriebenen Grenzen $0$ und $\pi$ über, so findet sich<section end=t1 />