Schwere, Elektricität und Magnetismus:149

Potentialfunction einer nicht homogenen Kugel.

<section begin=t1 />handen sei. Die Masse soll vielmehr über die Oberfläche vertheilt sein, und zwar in der Weise, dass für jeden Punkt der Oberfläche die Potentialfunction einen gegebenen Werth besitzt.

Vorlage:MathForm1

Die Function $f(\theta ,\phi )$ soll einwerthig und endlich sein für jede Werthencombination der Variablen $\theta$ und $\phi$ zwischen den äussersten Werthen $0$ und $\pi$ von $\theta$ und den äussersten Werthen $0$ und $2\pi$ von $\phi$.

Vorlage:Idt2Für das Innere der Kugel und ausserhalb gilt dann überall die Gleichung von Laplace:

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Vorlage:Idt2Der Satz von Green (§.21) gibt für irgend einen Punkt $(r^{\prime },{\theta }^{\prime },{\phi }^{\prime })$ den Werth $V^{\prime }$ der Potentialfunction durch die Gleichung

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Die Integration hat man über die Kugeloberfläche auszudehnen. Die Function $U$ ist in Gleichung (15) des vorigen Paragraphen ausgedrückt, und es ist

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wobei das obere oder das untere Zeichen gilt, je nachdem $r^{\prime }$ grösser oder kleiner als $a$ ist, d. h. je nachdem der Punkt $(r^{\prime },{\theta }^{\prime },{\phi }^{\prime })$) ausserhalb oder innerhalb der Kugel liegt.

Vorlage:Idt2Folglich haben wir

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je nachdem $r^{\prime }\begin{array}{c}>\\ <\end{array}a$.

Vorlage:Idt2Diese Formel drückt den Werth der Potentialfunction aus, wenn die anziehende Masse nur in der Oberfläche der Kugel vertheilt und der Werth der Potentialfunction in jedem Punkte dieser Oberfläche bekannt ist.

Vorlage:Idt2Es fragt sich dann noch, wie gross die Dichtigkeit $\rho$ in jedem Punkte der Kugeloberfläche ist. Diese Frage ist nach §. 14 Gleichung (6) zu beantworten. Man erhält

Vorlage:MathForm1

<section end=t1 />