Schwere, Elektricität und Magnetismus:147

Vorlage:Bernhard Riemann - Schwere, Elektricität und Magnetismus Vorlage:PageDef2

Potentialfunction einer nicht homogenen Kugel.

folglich

Demnach kann der Ausdruck für $U_{1}$ auch so geschrieben werden

Vorlage:Idt2Jetzt ist es leicht, für eine beliebige Lage des Punktes $(r, θ, φ)$ einen Ausdruck aufzustellen, der in (13) oder (14) übergeht, je nachdem der Punkt $(r, θ, φ)$ unendlich nahe an den inneren Unstetigkeitspunkt oder an dessen äusseren Bildpunkt heranrückt. Wir bezeichnen mit $t$ und $t_{1}$ die Abstände des Punktes $(r, θ, φ)$ von dem inneren Unstetigkeitspunkte $(r^{'}, θ^{'}, φ^{'})$ und resp. von dessen äusserem Bildpunkte $(\frac{a^{2}}{r^{'}}, θ^{'}, φ^{'})$ . Dann ist

Vorlage:MathForm1

die Function, welche allen gestellten Bedingungen Genüge leistet.

Datei:Riemann Fig 23.png

Fig. 23.

Vorlage:Idt2Es bleibt noch übrig, die Abstände $t$ und $t_{1}$ durch die Coordinaten $r, θ, φ$ und die Coordinaten des Unstetigkeitspunktes und seines Bildpunktes auszudrücken. Bezeichnen wir mit $γ$ den Winkel, welchen die Radien $r$ und $r^{'}$ mit einander einschliessen, so findet man (Fig. 23):

Vorlage:MathForm1

Datei:Riemann Fig 24.png

Fig. 24.

Vorlage:Idt2Um $\cos γ$ auszudrücken, legen wir um den Mittelpunkt des Kugelcoordinaten-Systems die Kugel vom Radius $1$ . Auf ihr merken wir ausser dem Pol und dem Anfangsmeridian die Punkte an, welche von den Radien $r$ und $r^{'}$ getroffen werden (Fig. 24). Die Poldistanzen dieser beiden Punkte sind $θ$ und $θ^{'}$ , und ihre sphärische Entfernung ist $γ$ . Die Meridiane, auf welchen $θ$ und $θ^{'}$ <section end=t1 />

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