Schwere, Elektricität und Magnetismus:146

Zweiter Abschnitt. §. 30.

<section begin=t1 />Für $r=a$ zeigt sich, dass die Derivirte in der Oberfläche denselben Werth annimmt, der Punkt mag von aussen oder von innen in die Oberfläche hineinrücken.

Vorlage:Idt2Durch die Bestimmung, die wir über die Fortsetzung der Function $u$ getroffen haben, wird auch $U$ über die Kugeloberfläche vom Radius $a$ nach aussen fortgesetzt. Und zwar genügt bei dieser Art der Fortsetzung die Function $U$ im ganzen unendlichen Raume der partiellen Differentialgleichung (1). Sie hat in der Oberfläche $(r=a)$ an jeder Stelle den Werth Null. Es ist also nur noch darauf Acht zu geben, dass $U$ überall endlich und stetig variabel sein soll, ausser in dem Punkte $(r^{\prime },{\theta }^{\prime },{\phi }^{\prime })$ und in seinem Bildpunkte $(\frac{a^2}{r^{\prime }},{\theta }^{\prime },{\phi }^{\prime })$.

Vorlage:Idt2Bezeichnen wir mit $U$ und $U_1$ die Werthe der Function $U$ für zwei gegenseitige Bildpunkte, so findet sich aus (9) und (4):

Vorlage:MathForm1

also

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Vorlage:Idt2Diese Relation lässt sich zur Herstellung des Ausdruckes für die Function $U$ verwerthen, wenn man noch ihr Verhalten in der Nähe des Unstetigkeitspunktes im Innern und seines äusseren Bildpunktes beachtet. Es seien $r^{\prime },{\theta }^{\prime },{\phi }^{\prime }$ die Coordinaten des inneren Unstetigkeitspunktes und ${r_1}^{\prime },{\theta }^{\prime },{\phi }^{\prime }$ die Coordinaten seines äusseren Bildpunktes, so dass $r^{\prime }{r_1}^{\prime }=a^2$. Ferner seien $r^{\prime }+\epsilon ,{\theta }^{\prime },{\phi }^{\prime }$ und resp. ${r_1}^{\prime }-{\epsilon }_1,{\theta }^{\prime },{\phi }^{\prime }$ die Coordinaten von zwei gegenseitigen Bildpunkten, welche mit den Unstetigkeitspunkten auf demselben Radius vector liegen. Nehmen wir $\epsilon$ unendlich klein, so hat die Function im Punkte $(r^{\prime }+\epsilon ,{\theta }^{\prime },\phi )$ den Werth

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wenn mit $f.c.$ eine Function bezeichnet wird, welche für $\epsilon =0$ endlich und stetig bleibt. In dem äusseren Bildpunkte $({r_1}^{\prime }+{\epsilon }_1,{\theta }^{\prime },{\phi }^{\prime })$ erhält man nach Gleichung (12)

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wenn $\phi .c.$ eine Function bezeichnet, welche für $\epsilon =0$ endlich und stetig bleibt. Nun ist aber<section end=t1 />