Schwere, Elektricität und Magnetismus:145

Potentialfunction einer nicht homogenen Kugel.

<section begin=t1 /> Vorlage:Idt2Führt man dies in die partielle Differentialgleichung (1) ein, so erhält man, nach Wegwerfung des Factors $r^{-\frac{1}{2}}$:

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Ist

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eine Lösung dieser partiellen Differentialgleichung, so kann man darin $\lg r$ ersetzen durch $const.-\lg r$ und erhält dadurch eine neue Lösung. Man überzeugt sich davon leicht, wenn man bemerkt, dass in (5) nur $(d\lg r{)}^2$ vorkommt. Es ist also auch

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eine Lösung, wenn $\lg r+\lg r_1=const.$ genommen wird.

Vorlage:Idt2Gehört nun $r$ zu einem Punkte innerhalb der Kugel, so lässt es sich leicht einrichten, dass $r_1$ einem äusseren Punkte angehört. Man hat nur

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zu setzen. Zwei solche Punkte, welche auf demselben Radius vector liegen, und deren Abstände vom Mittelpunkte $r$ und $r_1$ der Gleichung (8) Genüge leisten, sollen der eine der Bildpunkt des anderen genannt werden.

Vorlage:Idt2Vermöge der Gleichungen (6), (7) und (8) ist es nun leicht, die Function $u$ über die Oberfläche der Kugel hinaus so in den äusseren Raum fortzusetzen, dass sie überall der partiellen Differentialgleichung (5) genügt, und dass sie in der Oberfläche der Kugel $(r=a)$ an jeder Stelle den Werth Null annimmt.

Vorlage:Idt2Man braucht nur die Bestimmung zu treffen, dass die Functionswerthe $u$ und $u_1$ einander entgegengesetzt gleich sein sollen für zwei Punkte $(r,\theta ,\phi )$ und $(r_1,\theta ,\phi )$, von denen der eine des anderen Bildpunkt ist. Also

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Daraus geht zunächst hervor

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Ferner, wenn man mit $F^{\prime }$ die Derivirte nach $\lg r$ bezeichnet:

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<section end=t1 />