Schwere, Elektricität und Magnetismus:143

Potentialfunction einer nicht homogenen Kugel.

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Vorlage:MathForm1

Es kommen ferner in Betracht zwei Seitenflächen, rechtwinklig gegen den Meridian. Ihr Flächeninhalt ist $r\sin \theta drd\phi$ und resp. $r\sin (\theta +d\theta )drd\phi$. Für die eine ist $N=\frac{\partial V}{r\partial \theta }$, für die andere $N=-{\left(\frac{\partial V}{r\partial \theta }\right)}_{\theta +d\theta }$. Folglich lautet der Beitrag zu dem Integral

Vorlage:MathForm1

Vorlage:Idt2Endlich handelt es sich noch um zwei Seitenflächen, rechtwinklig gegen den Parallelkreis. Jede von ihnen hat den Flächeninhalt $rdrd\theta$. Für die eine ist $N=\frac{\partial V}{r\sin \theta d\phi }$, für die andere $N={\left(\frac{\partial V}{r\sin \theta d\phi }\right)}_{\phi +d\phi }$. Wir erhalten also zu dem Integral den Beitrag

Vorlage:MathForm1

Vorlage:Idt2Fassen wir diese Beiträge zusammen, so wird aus der linken Seite der Gleichung (2):

Vorlage:MathForm1

Auf der rechten Seite ist

Vorlage:MathForm1

Stellt man hiernach die Gleichung (2) auf und dividirt auf beiden Seiten durch $-r^2\sin \theta drd\theta d\phi$, so ergibt sich:

Vorlage:MathForm1

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