Schwere, Elektricität und Magnetismus:142

Zweiter Abschnitt. §. 29.

<section begin=t1 /> Vorlage:Idt2Auf Grund dieser Gleichungen könnte man den Ausdruck

Vorlage:MathForm1

durch blosse Rechnung transformiren. Wir ziehen es vor, den neuen Ausdruck direct herzuleiten, indem wir den Satz von Gauss

Datei:Riemann Fig 22.png

Fig. 22.

(§.12) auf ein Raumelement des Kugelcoordinaten-Systems anwenden. Dieses Raumelement (Fig.22) wird begrenzt von zwei concentrischen Kugelflächen, die mit den Radien

$r$

und

$r+dr$

um den Mittelpunkt der Kugel-Coordinaten beschrieben sind, ferner von zwei Kegelflächen, welche die

$z$

Axe zur Axe haben, und deren Erzeugende mit dieser Axe die Winkel

$\theta$

und resp.

$\theta +d\theta$

einschliessen, endlich von zwei Meridian-Ebenen, die mit der Ebene des Anfangsmeridians die Winkel

$\phi$

und

$\phi +d\phi$

bilden. Die sechs Begrenzungsflächen durchschneiden sich in zwölf Kanten. Je drei von ihnen, welche eine dreiseitige Ecke bilden, stehen rechtwinklig aufeinander.

Vorlage:Idt2Der Satz von Gauss lautet:

Vorlage:MathForm1

wenn die Integration über die Oberfläche des Raumelementes erstreckt wird. $N$ ist die Componente der Anziehung in der Oberfläche, genommen in der Richtung der nach innen gezogenen Normale, und $M$ die Masse im Innern des Raumelementes.

Vorlage:Idt2Das Integral zerlegt sich in sechs Bestandteile, deren jeder von einer Seitenfläche herrührt. Wir haben zunächst zwei Seitenflächen, rechtwinklig gegen den Radius vector $r$. Der Flächeninhalt derselben ist $r^2\sin \theta d\theta d\phi$ und resp. $(r+dr{)}^2\sin \theta d\theta d\phi$. Für die erste ist $N=\frac{\partial V}{\partial r}$, für die andere $N=-{\left(\frac{\partial V}{\partial r}\right)}_{r+dr}$. Folglich liefern diese beiden Seitenflächen zu dem Integral den Beitrag<section end=t1 />