Schwere, Elektricität und Magnetismus:139

$X$ als Potentialfunction einer Ellipsenfläche.

<section begin=t1 />um $\sigma$ herum bis $\mathrm{\infty }$. Das unbestimmte Integral lässt sich ausrechnen, nemlich

Vorlage:MathForm1

Diese Function ist auf dem ganzen Integrationswege einwerthig, endlich und stetig variabel. Man findet also das bestimmte Integral gleich der Differenz der Werthe des unbestimmten Integrals an den Grenzen. Diese Werthe sind aber an den Grenzen $(s=\mathrm{\infty })$ beide gleich Null. Folglich

Vorlage:MathForm1

Dies ist die zu beweisende Gleichung (1).

Vorlage:Idt2Um die zweite Eigenschaft der Function $X$ nachzuweisen, stellen wir $\frac{\partial X}{\partial x}$ her nemlich

Vorlage:MathForm1

Vorlage:Idt2Soll hier $x=0$ genommen werden, so muss der Integrationsweg von $\mathrm{\infty }$ nach $\mathrm{\infty }$ durch eine geschlossene Linie $L$ führen, welche den Punkt ${\sigma }^{\prime }$ mit umschliesst. Dabei ist zu unterscheiden, ob ${\sigma }^{\prime }>0$ oder ${\sigma }^{\prime }=0$ ist.

Vorlage:Idt2Es sei erstens ${\sigma }^{\prime }>0$. Dann können und dürfen wir die Linie $L$ so legen, dass der Punkt $s=0$ ausserhalb des umschlossenen Flächenstücks liegt. Das Integral auf der rechten Seite von (9) kann ersetzt werden durch den doppelten Werth des Integrals zwischen den reellen Grenzen ${\sigma }^{\prime }$ und $\mathrm{\infty }$. Nun wird zwar für $s={\sigma }^{\prime }$ die Function unter dem Integralzeichen unendlich wie $(t-x^2{)}^{-\frac{1}{2}}$, aber das unbestimmte Integral wird an dieser Stelle Null wie $(t-x^2{)}^{\frac{1}{2}}$, und daher hat das bestimmte Integral einen angebbaren endlichen Werth. Folglich ist für $x=0$ auch $\frac{\partial X}{\partial x}=0$, gleichgültig, ob $x$ von der positiven oder von der negativen Seite in Null übergeht. Wir haben also (für $x=0$)

Vorlage:MathForm1

wenn ${\sigma }^{\prime }>0$, d. h. wenn $\frac{y^2}{{\beta }^2}+\frac{z^2}{{\gamma }^2}>1$. In diesem Falle liegt der<section end=t1 />