Schwere, Elektricität und Magnetismus:133

Integration durch complexe Werthe der Variablen.

<section begin=t1 />

Vorlage:MathForm1

und es ist die Integration durch die Linie $L$ (Fig. 18) zu erstrecken von $\mathrm{\infty }$ bis $\mathrm{\infty }$ in der Richtung der vorgeschriebenen Pfeile.

Vorlage:Idt2Für

$x=0$

wird

$\sigma ={\sigma }^{\prime }.$

In diesem Falle ist für das Integral in (4) die Linie

$L$

so zu legen, dass sie den Punkt

${\sigma }^{\prime }$

mit umschliesst, nicht aber die beiden anderen Wurzeln der Gleichung

$t=0$

. Das Integral ist mit besonderer Vorsicht zu behandeln, weil für

$s={\sigma }^{\prime }$

die Function

$t=0$

wird, und in Folge davon die Function unter dem Integral unendlich gross. Wir wählen auf

Datei:Riemann Fig 21.png

Fig. 21.

der Linie

$L$

zwei Punkte

$b$

und

$c$

. Durch sie und den unendlich entfernten Punkt wird die ganze Linie in drei Bestandteile

$L_1,L_2,L_3$

zerlegt.

$L_1$

läuft von

$\mathrm{\infty }$

bis

$b,L_2$

von

$b$

bis

$c,L_3$

von

$c$

bis

$\mathrm{\infty }$

. Wir ziehen ferner von

$b$

nach

$c$

durch das Innere des von

$L$

begrenzten Flächenstücks eine Linie

$L_4$

(Fig. 21), so dass

$L_4$

und

$L_2$

ein Flächenstück begrenzen, innerhalb dessen der Punkt

${\sigma }^{\prime }$

liegt. Das Integral

Vorlage:MathForm1

durch die ganze Linie $L$ erstreckt, soll mit $J$ bezeichnet werden, mit $J_1,J_2,J_3$ dagegen die drei Bestandtheile, die sich ergeben bei der Integration von $\mathrm{\infty }$ bis $b$ längs der Linie $L_1,$ von $b$ bis $c$ längs $L_2,$ von $c$ bis $\mathrm{\infty }$ längs $L_3$. Endlich soll $J_4$ der Werth des Integrals von $b$ bis $c,$ durch $L_4$ genommen, sein. Dann hat man

Vorlage:MathForm1

Hierin ist $J_1+J_4+J_3$ ein Integral von endlichem Werthe. Also hat man

Vorlage:MathForm1

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