Schwere, Elektricität und Magnetismus:132

Zweiter Abschnitt. §. 27.

<section begin=t1 />

Vorlage:MathForm1

wenn die Quadratwurzeln positiv genommen werden. Mit Hülfe des eben citirten Satzes findet sich also

Vorlage:MathForm1

und es ist das Integral durch complexe Werthe von $s$ zu nehmen längs der Linie $L$ von $\mathrm{\infty }$ bis $\mathrm{\infty }$ in der Richtung der in Fig. 18 angegebenen Pfeile.

Vorlage:Idt2Die Gleichung (3) bleibt gültig, auch wenn

$\sigma ={\sigma }^{\prime }$

und

${\sigma }^{\prime }=0$

ist. Der Integrationsweg (Fig. 20) führt jetzt von

$\mathrm{\infty }$

bis

${\sigma }^{\prime }+\delta$

an dem unteren Rande

Datei:Riemann Fig 20.png

Fig. 20.

des Schnittes, dann durch die Peripherie des um

${\sigma }^{\prime }$

gelegten Kreises, hierauf von

${\sigma }^{\prime }+\delta$

bis

$\mathrm{\infty }$

an dem oberen Rande des Schnittes und schliesslich längs der Linie

$L$

von

$\mathrm{\infty }$

bis

$\mathrm{\infty }$

, immer in der Richtung der Pfeile. Soweit der Integrationsweg reell ist, erhält man für

$\lim \delta =0$

das Integral (2). Das Integral, durch die Kreisperipherie erstreckt, hat den Grenzwerth Null. Denn es geht für

$x=0$

die Function

$f(s)$

über in

Vorlage:MathForm1

und diese wird für $s=0$ unendlich wie $\frac{1}{\sqrt{s}}.$ Folglich wird der Integralwerth an dieser Stelle Null wie $\sqrt{s}$. Wir kommen demnach auf die Gleichung (3) zurück. Nur ist jetzt der Integrationsweg $L$ so zu legen, dass er die Stelle $s={\sigma }^{\prime }$ mit umschliesst.

Vorlage:Idt2Soll nun auch in der Gleichung (14) des vorigen Paragraphen ein complexer Integrationsweg eingeschlagen werden, so haben wir<section end=t1 />