Schwere, Elektricität und Magnetismus:131

Integration durch complexe Werthe der Variablen.

<section begin=t1 />Schnitt auf der linken (oberen) Seite liegt. Wir lassen dann die Variable $s$ von dem Rande des Schnittes aus im Innern des begrenzten Flächenstückes eine Linie stetig durchlaufen, die im Innern oder auf der Begrenzung $L$ endigt. Dabei soll, wie wir ferner festsetzen, von den beiden Werthen der Function $f(s)$ nur die stetige Fortsetzung des Anfangswerthes in Betracht kommen. Dadurch wird erreicht, dass auf der Linie $L$ und im Innern des von ihr begrenzten und von $\sigma$ bis $\mathrm{\infty }$ zerschnittenen Flächenstückes die Function $f(s)$ überall einwerthig, endlich und stetig variabel ist. Nur wenn $\sigma =0$ ist, wird die Function an einer Stelle des Flächenstückes unendlich, nemlich an der Stelles $s=0$. In diesem besonderen Falle legen wir um den Unstetigkeitspunkt einen Kreis von beliebig kleinem Radius $\delta$, schliessen das Innere desselben von dem betrachteten Flächenstück aus und lassen schliesslich $\lim \delta =0$ werden.

Vorlage:Idt2Wir setzen nun einen Fundamentalsatz aus der Theorie der Functionen einer complexen Variablen als bekannt voraus. Derselbe lautet:

Vorlage:Idt2Wenn für alle Werthe von $s$ innerhalb eines vollständig begrenzten Gebietes der Zahlenebene und auf der Begrenzung die Function $f(s)$ überall einwerthig, endlich und stetig variabel ist, so hat das Integral

Vorlage:MathForm1

ausgedehnt durch die ganze Begrenzung, den Werth Null.

Vorlage:Idt2Ist

$\sigma >{\sigma }^{\prime },$

also

$x$

von Null verschieden, so hat man folgenden Integrationsweg (Fig. 19):

Datei:Riemann Fig 19.png

Fig. 19.

Von

$\mathrm{\infty }$

bis

$\sigma$

unendlich nahe an dem Schnitt auf der rechten (unteren) Seite, von

$\sigma$

bis

$\mathrm{\infty }$

ebenso auf der linken (oberen) Seite, dann von

$\mathrm{\infty }$

durch die Linie

$L$

um

$\sigma$

herum bis

$\mathrm{\infty }$

in der Richtung der Pfeile.

Vorlage:Idt2Das Integral auf dem reellen Wege von $\mathrm{\infty }$ bis $\sigma$ und von $\sigma$ bis $\mathrm{\infty }$ hat den Werth<section end=t1 />