Schwere, Elektricität und Magnetismus:129

Integration durch complexe Werthe der Variablen.

<section begin=t1 />Werth höchstens gleich $1$ ist. Der erste hat den Grenzwerth $1$, und der zweite den Grenzwerth Null. Denn vermöge der Gleichung (22) muss $y^2:({\sigma }^{\prime }+{\beta }^2)$ endlich sein, selbst wenn $y$ und ${\sigma }^{\prime }$ unendlich gross genommen werden. Folglich ist

Vorlage:MathForm1

für $y=\mathrm{\infty }$.

Vorlage:Idt2Damit ist bewiesen, dass $Y=0$ für $\lim (y^2+z^2)=\mathrm{\infty }$.

Vorlage:Idt2Auf demselben Wege wird der Beweis geführt, dass $Z=0$ für $\lim (y^2+z^2)=\mathrm{\infty }$. <section end=t1 /> <section begin=t2 />

§. 27. Fortsetzung: Integration durch complexe Werthe der Variablen.

<section begin=t1 /> Vorlage:Idt2Die Richtigkeit der Ausdrücke für $X,Y,Z$ ist zwar im vorigen Paragraphen vollständig bewiesen. Doch erscheint es nicht unzweckmässig, einen Theil der Untersuchung noch auf einem anderen Wege vorzunehmen. Es ist dies namentlich die Bestimmung der Functionen $\mathrm{\Phi }(y,z)$ und $\mathrm{\Psi }(y,z)$, wenn man dabei von den Gleichungen (14) und (18) des vorigen Paragraphen ausgehen will.

Vorlage:Idt2Es handelt sich darum, den Werth von $Y$ aus der Gleichung (14) des vorigen Paragraphen zu ermitteln für $x=0$. Man hat dabei zu beachten, dass für $x=0$ die Grösse $\sigma$ übergeht in ${\sigma }^{\prime }$. Dadurch wird aber der Werth des Integrals in (14) unendlich gross, und der erste Bestandtheil von $Y$ nimmt in Gleichung (14) die unbestimmte Form $0.\mathrm{\infty }$ an.

Vorlage:Idt2Um den wahren Werth zu ermitteln, kann man statt des reellen Integrationsweges einen anderen einschlagen, welcher durch complexe Werthe der Variablen führt.

Vorlage:Idt2Wir denken uns nach dem Vorgange von Gauss eine complexe Zahl $s=\xi +\eta \sqrt{-1}$ repräsentirt durch den Punkt einer Ebene, dessen rechtwinklige Coordinaten $\xi ,\eta$ sind. Die Zahl $s$ nimmt dann alle möglichen complexen Werthe an, wenn der Punkt $(\xi ,\eta )$ in der unbegrenzten Ebene in alle möglichen Lagen gebracht wird. Die Werthe von $s$ ändern sich stetig, wenn der Punkt $(\xi ,\eta )$ eine ununterbrochene Linie stetig durchläuft. Wir sagen dafür der Kürze wegen: die complexe Variable $s$ durchläuft die Linie.

Vorlage:Idt2Die Ebene, in welcher der Punkt $(\xi ,\eta )$ beweglich ist, heisst die Zahlenebene. Es ist vortheilhaft, sie im Unendlichen als geschlossen anzusehen, d. h. sie als eine Kugel von unendlich grossem<section end=t2 />