Schwere, Elektricität und Magnetismus:122

Zweiter Abschnitt, §. 26.

<section begin=t1 />Der Beitrag $\frac{\partial Y}{\partial \sigma }\frac{\partial \sigma }{\partial x}$, der auf der rechten Seite noch hinzugefügt werden müsste, fällt weg, weil $\frac{\partial Y}{\partial \sigma }=0$ ist.

Vorlage:Idt2Aus (13) und (16) erkennt man auf den ersten Blick, dass die erste der Gleichungen (8) in der That erfüllt ist.

Vorlage:Idt2Es kommt nun darauf an, die Function $\mathrm{\Phi }(y,z)$ richtig zu bestimmen, so dass für $x=0$ auch $Y=0$ wird. Dabei ist zu beachten, dass für $x=0$ die untere Grenze $\sigma$ des Integrals in (15) übergeht in ${\sigma }^{\prime }$. Nun ist aber für $s={\sigma }^{\prime }$ die Function $t=0$, und folglich wird dann der Werth von

Vorlage:MathForm1

völlig unbestimmt. Wir nehmen deshalb in dem zu ermittelnden Integral zunächst ${\sigma }^{\prime }+\kappa \delta$ als untere Grenze und verstehen unter $\kappa$ eine unbestimmte positive Constante und unter $\delta$ eine positive Grösse, die nachher der Null unaufhörlich angenähert werden soll. Unter dieser Verabredung bleibt zwischen den Integrationsgrenzen $(s={\sigma }^{\prime }+\kappa \delta$ und $s=\mathrm{\infty })$ die Function $t$ positiv. Folglich ist jetzt der Arcussinus $=\frac{\pi }{2}$, und das Integral in (15) hat für $x=0$ einen angebbaren, endlichen Werth, wenn als untere Grenze ${\sigma }^{\prime }+\kappa \delta$ genommen wird. Dieser Werth geht für $\lim \delta =0$ über in

Vorlage:MathForm1

also in einen Grenzwerth, der von der unbestimmten Grösse $\kappa$ unabhängig ist. Dieser Grenzwerth ist der Werth des Integrals in (15), wenn ${\sigma }^{\prime }$ als untere Grenze genommen und $x=0$ gesetzt wird. Daraus ergibt sich nun leicht, dass

Vorlage:MathForm1

sein muss, damit die erste der Gleichungen (12) erfüllt werde.

Vorlage:Idt2Die Function $Z$ aus Gleichung (7) nehmen wir zunächst in der Form<section end=t1 />