Schwere, Elektricität und Magnetismus:120

Zweiter Abschnitt. §. 26.

<section begin=t1 />negativen $x$ finden, so dass sie zur $yz$Ebene symmetrisch liegen. Die beiden Massenelemente sind einander entgegengesetzt gleich. Sie haben von einem beliebigen Punkte $(0,y,z)$ der $yz$Ebene gleichen Abstand. Folglich ist der Beitrag, den sie zu dem Werthe der Potentialfunction im Punkte $(0,y,z)$ liefern, gleich Null. In dieser Weise lassen sich aber alle Massenelemente paarweise zusammenordnen, und es hat deshalb die Potentialfunction $V$ an jeder Stelle der $yz$Ebene den constanten Werth Null. Daraus ergibt sich, dass auch die Derivirten $\frac{\partial V}{\partial y},\frac{\partial V}{\partial z}$ in der $yz$Ebene überall gleich Null sein müssen. Dies liefert die Gleichungen (12).

Vorlage:Idt2Wir betrachten zuerst den Ausdruck für $X$, also die Gleichung (5). Differenziren wir partiell nach $y$, so ergibt sich

Vorlage:MathForm1

Es ist aber $-\frac{\partial X}{\partial \sigma }$ nichts anderes als $2\rho$ multiplicirt mit der Function unter dem Integralzeichen, wenn man darin überall $s=\sigma$ setzt. Dadurch wird $t-x^2=0$, folglich auch $\frac{\partial X}{\partial \sigma }=0$. Wir erhalten also einfach

Vorlage:MathForm1

wofür man auch schreiben kann:

Vorlage:MathForm1

Vorlage:Idt2Die Function $Y$ aus Gleichung (6) nehmen wir zunächst in der Form

Vorlage:MathForm1

indem wir uns vorbehalten, die Function $\mathrm{\Phi }(y,z)$ so zu bestimmen, dass für $x=0$ die erste der Gleichungen (12) erfüllt werde.<section end=t1 />