Schwere, Elektricität und Magnetismus:117

Anziehung eines homogenen elliptischen Cylinders.

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Vorlage:MathForm1

zu beachten, in denen $\sigma$ und ${\sigma }^{\prime }$ positiv sind. Diese Gleichungen geben zu erkennen, dass die positive Summe $\frac{y^2}{{\sigma }^{\prime }+{\beta }^2}+\frac{z^2}{{\sigma }^{\prime }+{\gamma }^2}$ grösser sein muss als die ebenfalls positive Summe $\frac{y^2}{\sigma +{\beta }^2}+\frac{z^2}{\sigma +{\gamma }^2}$. D. h. es muss $\sigma >{\sigma }^{\prime }$ sein.

Vorlage:Idt2Für $x=0$ ist $\sigma ={\sigma }^{\prime }$.

Datei:Riemann Fig 17.png

Fig. 17.

Vorlage:Idt2In den Gleichungen (2) und (3) wollen wir von jetzt an nur den grössten Wurzelwerth in Betracht ziehen. Man kann in der Gleichung (2) $\sigma$ als gegeben ansehen. So lange der Werth von $\sigma$ grösser als Null ist, darf man statt der Gleichung (2) auch schreiben:

Vorlage:MathForm1

Dann ist der Punkt $(x,y,z)$ auf der Oberfläche eines Ellipsoids zu suchen, dessen Hauptaxen in die Coordinatenaxen fallen. Lässt man $\sigma$ alle positiven Werthe bis $+\mathrm{\infty }$ durchlaufen, so erhält man eine Schaar von unendlich vielen confocalen Ellipsoiden. Ihre Durchschnitte mit der $yz$Ebene sind Ellipsen, die mit der Schnitt-Ellipse der $yz$Ebene und der Cylinderfläche (1) die Brennpunkte gemein haben.

Vorlage:Idt2Für $\sigma =0$ degenerirt das Ellipsoid in eine Cylinderfläche, nemlich die Fläche (1).<section end=t1 />