Schwere, Elektricität und Magnetismus:116

Zweiter Abschnitt. §. 26.

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Vorlage:MathForm1

setzt. Nimmt man auch hier $s$ als Abscisse, aber $\frac{t}{s}$ als Ordinate einer Curve, so springt bei stetig wachsendem $s$ die Ordinate von $+\mathrm{\infty }$ auf $-\mathrm{\infty }$ an den beiden Stellen $s=-{\beta }^2$ und $s=-{\gamma }^2$. Für ${\beta }^2>{\gamma }^2$ zeigt sich, dass die Curve die Abscissenaxe je einmal schneidet zwischen $-{\beta }^2$ und $-{\gamma }^2$ und zwischen $-{\gamma }^2$ und $+\mathrm{\infty }$. Hier ist aber noch zu unterscheiden, ob der Punkt $(x,y,z)$ ausserhalb des Raumes liegt, welchen die unbegrenzte Cylinderfläche (1) umschliesst, oder innerhalb.

Vorlage:Idt2Liegt der Punkt $(x,y,z)$ ausserhalb, so ist $\frac{t}{s}<0$ für $s=0$, und folglich schneidet die Curve (Fig. 16) die Abscissenaxe

Datei:Riemann Fig 16.png

Fig. 16.

zwischen $0$ und $+\mathrm{\infty }$, nicht aber zwischen $-{\gamma }^2$ und $0$.

Vorlage:Idt2Wenn dagegen der Punkt $(x,y,z)$ innerhalb des von der Fläche (1) umschlossenen Raumes liegt, so ist $\frac{t}{s}>0$ für $s=0$. Die Curve (Fig. 17) schneidet also die Abscissenaxe zwischen $-{\gamma }^2$ und $0$, nicht aber zwischen $0$ und $+\mathrm{\infty }$.

Vorlage:Idt2Daraus geht hervor, dass die grösste Wurzel der Gleichung (3) positiv ist, wenn der Punkt $(x,y,z)$ ausserhalb des von der Fläche (1) umschlossenen Raumes liegt, und dass sie gleich Null ist, wenn er innerhalb liegt. Wir bezeichnen diese grösste Wurzel der Gleichung (3) mit ${\sigma }^{\prime }$. Jedenfalls ist $\sigma >{\sigma }^{\prime }$, wenn $x$ von Null verschieden. Für einen inneren Punkt $(x,y,z)$ sieht man dies ohne weiteres, weil $\sigma$ positiv und ${\sigma }^{\prime }$ Null ist. Für einen äusseren Punkt hat man dagegen die Gleichungen<section end=t1 />