Schwere, Elektricität und Magnetismus:114

Zweiter Abschnitt. §. 26.

<section begin=t1 />auch dann noch, wenn der angezogene Punkt auf der äusseren Oberfläche der Schale selbst liegt.*) <section end=t1 /> <section begin=t2 />

§. 26. Anziehung eines homogenen elliptischen Cylinders.

Vorlage:Idt2Wir gehen zu der Aufgabe über, die Anziehung eines geraden Cylinders zu berechnen, dessen Endflächen Ellipsen sind. Die Dichtigkeit $\rho$ sei constant. Wir legen das Coordinatensystem so, dass die Endflächen ausgedrückt werden durch die Gleichungen

Vorlage:MathForm1

und die krumme Oberfläche durch die Gleichung

Vorlage:MathForm1

Die Axe der $x$ fällt dann in die Axe des Cylinders und die Basisfläche liegt in der $yz$Ebene.

Vorlage:Idt2Die Untersuchung lässt sich auf eine einfachere zurückführen. Man betrachte einen Cylinder, der mit dem gegebenen die krumme Oberfläche gemein hat, aber keine Endflächen besitzt, also von $x=-\mathrm{\infty }$ bis $x=+\mathrm{\infty }$ sich erstreckt. In seinem Innern sei die Dichtigkeit $=-\frac{1}{2}\rho$ von $x=-\mathrm{\infty }$ bis $x=0$ und $=+\frac{1}{2}\rho$ von $x=0$ bis $x=+\mathrm{\infty }$. Auch hier soll die im Punkte $(x,y,z)$ concentrirte positive Masseneinheit angezogen werden von einer positiven Masse, dagegen abgestossen werden von einer negativen Masse. Man denke sich, die Potentialfunction dieser Masse sei bekannt, nemlich

Vorlage:MathForm1

Dann ist, wie man leicht sieht,

Vorlage:MathForm1

die Potentialfunction, die von demselben Cylinder herrührt, wenn die Dichtigkeit $=-\frac{1}{2}\rho$ ist von $x=-\mathrm{\infty }$ bis $x=+a$ und $=+\frac{1}{2}\rho$ von $x=+a$ bis $x=+\mathrm{\infty }$.

Vorlage:Idt2Durch Superposition erhält man

Vorlage:MathForm1

<section end=t2 /> Vorlage:References