Schwere, Elektricität und Magnetismus:107

Potentialfunction eines homogenen Ellipsoids.

<section begin=t1 />fernten Punkt $(x,y,z)$ der Quotient $\frac{x}{a^2+s}$ innerhalb der Integrationsgrenzen nicht unendlich gross. Der Factor $\frac{1}{D}$ ist Null und die Integrationsgrenzen fallen zusammen. Folglich ist $\frac{\partial V}{\partial x}=0$ in unendlicher Entfernung.

Vorlage:Idt2Die Ausdrücke $\frac{\partial V}{\partial y}$ und $\frac{\partial V}{\partial z}$ finden sich, wenn man in (4) und in (5) $y$ und $b$, resp. $z$ und $c$ vertauscht mit $x$ und $a$. Daher sind auch $\frac{\partial V}{\partial y}$ und $\frac{\partial V}{\partial z}$ überall endlich und stetig variabel und in unendlicher Entfernung gleich Null.

Vorlage:Idt2Aus (4) ergibt sich durch nochmalige Differentiation

Vorlage:MathForm1

Dies gilt für einen Punkt $(x,y,z)$ im Innern des Ellipsoids. Aus (5) erhält man dagegen

Vorlage:MathForm1

Dies gilt für einen Punkt $(x,y,z)$ ausserhalb des Ellipsoids. Beide Ausdrücke sind endlich und ändern sich stetig, wenn nur der Punkt $(x,y,z)$ im einen Falle innerhalb, im andern Falle ausserhalb des Ellipsoids bleibt. Lässt man ihn von der einen und von anderen Seite in die Oberfläche hineinrücken, so geben die Ausdrücke (6) und (7) verschiedene Werthe. Nur für $x=0$ sind sie einander gleich.

Vorlage:Idt2Die Ausdrücke $\frac{{\partial }^{2}V}{\partial y^2}$ und $\frac{{\partial }^{2}V}{\partial z^2}$ ergeben sich aus (6) und (7) durch Buchstaben-Vertauschung. Wir bilden die Summe der zweiten Derivirten und erhalten fur einen inneren Punkt $(x,y,z)$

Vorlage:MathForm1

Es findet sich aber

Vorlage:MathForm1

folglich ist<section end=t1 />