Schwere, Elektricität und Magnetismus:105

Potentialfunction eines homogenen Ellipsoids.

<section begin=t1 />Potentialfunction vollständig und eindeutig charakterisirt wird (§§. 18. 22).

Vorlage:Idt2Wir setzen zur Abkürzung

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und bezeichnen mit $\mathrm{\Delta }$ den Werth, welchen $D$ annimmt für $s=\sigma$.

Vorlage:Idt2Es soll nun bewiesen werden, dass

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wenn der Punkt $(x,y,z)$ im Innern des Ellipsoids liegt; und

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wenn er ausserhalb liegt. Man kann die Ausdrücke (2) und (3) auch in die Form bringen

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Vorlage:Idt2Die untere Grenze der Integration ist $0$ oder $\sigma$, je nachdem die Gleichung (2) oder (3) zu Stande kommen soll.

Vorlage:Idt2Liegt der angezogene Punkt im Innern des Ellipsoids, so ist $V$ eine rationale ganze Function zweiten Grades von $x,y,z$, und da diese Variabeln durchaus endliche Werthe behalten, so ist die Function $V$ für jeden Punkt im Innern des Ellipsoids endlich und stetig variabel.

Vorlage:Idt2Liegt der angezogene Punkt ausserhalb des Ellipsoids, so hängt die Function $V$ von $x,y,z$ direct ab, insofern die Factoren $x^2,y^2,z^2$ auftreten, und indirect, insofern die untere Integrationsgrenze $\sigma$ eine Function von $x,y,z$ ist. Die Aenderung, welche $V$ bei einer unendlich kleinen Verschiebung des angezogenen Punktes erleidet, setzt sich also aus zweien zusammen, nemlich aus der unendlich kleinen Aenderung, die von den Factoren $x^2,y^2,z^2$ herrührt, und aus der Aenderung, die sich ergibt, wenn man nur $\sigma$ variabel nimmt. Nun sind aber die Integrale stetige Functionen von $\sigma$, und $\sigma$ selbst ist eine stetige Function von $x,y,z$. Daher ist $V$ endlich und stetig variabel, wenn der Punkt $(x,y,z)$ ausserhalb des Ellipsoids liegt. Dies gilt auch noch, wenn er in un-<section end=t1 />