Schwere, Elektricität und Magnetismus:094

Zweiter Abschnitt. §. 21.

<section begin=t1 />

Vorlage:Idt2Es werde endlich drittens die Function $V$ in einem Punkte unstetig. Dies tritt ein, wenn in dem fraglichen Punkte eine endliche Masse $m$ concentrirt ist. Wir machen ihn zum Mittelpunkte einer Kugelfläche vom Radius $𝔯$. Mit $d\omega$ soll das Flächenelement auf einer Kugel vom Radius 1 bezeichnet werden. Dann lautet der Beitrag, welcher jetzt zu dem Oberflächen-Integral hinzukommt:

Vorlage:MathForm1

Es ist aber hier

Vorlage:MathForm1

und es bleiben $V_1$ und $\frac{\partial V_1}{\partial 𝔯}$ endlich und stetig für $𝔯=0$. Folglich erhalten wir

Vorlage:MathForm1

wenn mit $U_0$ der Werth von $U$ in dem Unstetigkeitspunkte der Function $V$ bezeichnet wird. In diesem letzten Falle hat man also auf der rechten Seite der Gleichung (3) zu dem Oberflächen-Integral den Beitrag

Vorlage:MathForm1

hinzuzufügen. <section end=t1 /> <section begin=t2 />

§. 22. Die Potentialfunction ist durch die Kennzeichen des §. 18 im ganzen unendlichen Raume eindeutig bestimmt.

Vorlage:Idt2Die im vorigen Paragraphen gewonnenen Resultate bieten zunächst die Mittel dar, die im §. 18 aufgestellte Behauptung zu beweisen, dass durch die partielle Differentialgleichung von Laplace [§.18: (1)], durch eine der Gleichungen [§.18: (2), (3), (4), (5)] und die vier Nebenbedingungen [§. 18: (6), (7), (8), (9)] die Potentialfunction vollständig und eindeutig bestimmt ist.

Vorlage:Idt2Um diesen Beweis zu führen, setzen wir fest, dass $T$ der ganze unendliche Raum sein soll. Die Hülfsfunction $U$ hat in diesem Falle einen sehr einfachen Ausdruck, nemlich<section end=t2 />