Schwere, Elektricität und Magnetismus:090

Zweiter Abschnitt. §.21.

<section begin=t1 />Für $\lim c=0$ bleibt nur das Integral $-\int Vd\omega ,$ und wenn man den Werth von $V$ im Punkte $(x^{\text{'}},y^{\text{'}},z^{\text{'}})$ mit $V$ bezeichnet, so ergibt sich

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Aus der Gleichung (4) des vorigen Paragraphen erhalten wir also

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und hier ist das dreifache Integral über den Raum $T,$ das Oberfächen-Integral über seine Begrenzung zu erstrecken.

Vorlage:Idt2Dabei ist vorausgesetzt, dass die Function $V$ und ihre ersten Derivirten innerhalb des Raumes $T$ überall endlich und stetig bleiben.

Vorlage:Idt2Es fragt sich noch, welche Modificationen eintreten, wenn der Raum $T$ sich ins Unendliche erstreckt. In diesem Falle hat man zu der schon vorhandenen Begrenzung noch eine solche hinzuzufügen, welche alle aus dem endlichen Gebiete austretenden Bestandtheile von $T$ ausschliesst. Es fragt sich dann, was aus den Integralen auf der rechten Seite der Gleichung (3) wird, wenn man die neu hinzugefügten Begrenzungstheile so ins Unendliche rücken lässt, dass der gegebene Raum $T$ wieder zu Stande kommt. Behalten die Integrale in diesem Falle bestimmte, endliche Werthe, so bleibt die Gleichung (3) in Gültigkeit.

Vorlage:Idt2Sind Unstetigkeitsstellen der Function $V$ oder der ersten Derivirten vorhanden, so kommen zu dem Oberflächen-Integral noch Beiträge hinzu. Wir unterscheiden die drei Falle, dass die Unstetigkeit in einer Fläche, oder in einer Linie oder in einem Punkte stattfindet.

Vorlage:Idt2Erstens. Wenn die Unstetigkeit in einer Fläche auftritt, so legen wir ihr unendlich nahe zwei Flächen, welche auf der positiven und auf der negativen Normale der Unstetigkeitsfläche überall die constante Strecke $+\epsilon$ und resp. $-\epsilon$ abschneiden. Wir wollen dann $z$ unendlich klein werden lassen. Diese beiden Flächen und ein Cylinder von der unendlich kleinen Höhe $2\epsilon$ welcher dem Rande der Unstetigkeitsfläche unendlich nahe liegt,<section end=t1 />