Schwere, Elektricität und Magnetismus:088

Zweiter Abschnitt. §. 21.

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Vorlage:Idt2Wir setzen $r=\sqrt{(x-x^{\prime }{)}^2+(y-y^{\prime }{)}^2+(z-z^{\prime }{)}^2}$ und verstehen unter $U_1$ eine Function von $x,y,z$, die der Gleichung von Laplace Genüge leistet, im Innern des Raumes $T$ überall endlich und stetig variabel ist und in der Oberfläche den Werth $-\frac{1}{r}$ annimmt. Dann soll

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genommen werden. Die Function $U$ genügt also im Innern des Raumes $T$ der partiellen Differentialgleichung

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Sie ist im Innern dieses Raumes endlich und stetig variabel, ausser im Punkte $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$, wo sie unendlich wird wie $\frac{1}{r}$, und sie hat in der Oberfläche von $T$ den Werth Null. Es soll später (§. 34) bewiesen werden, dass eine solche Function existirt.

Vorlage:Idt2Der Punkt $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ ist zunächst zum Mittelpunkt einer Kugel vom Radius $r=c$ zu machen, deren Oberfläche ganz im Innern des Raumes $T$ liegen soll. Das Innere dieser Kugel ist der Raum $T_2$. Ihre Oberfläche und die Oberfläche von $T$ bilden zusammen die Begrenzung des Raumes $T_1$.

Vorlage:Idt2Im Innern des Raumes $T_1$ erfüllen $U$ und $V$ die Bedingungen, unter denen die Gleichung (4) des vorigen Paragraphen Gültigkeit hat. Wir dürfen also von dieser Gleichung hier Gebrauch machen, wenn das Raum-Integral auf das Innere von $T_1$ und das Oberflächen-Integral über seine Oberfläche erstreckt wird. Es handelt sich dann um die Frage, welches Resultat für $\lim c=0$ zu Stande kommt.

Vorlage:Idt2Das Raum-Integral

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nimmt vermöge der partiellen Differentialgleichung (2) den Werth Null an, man mag es über den Raum $T_1$ oder über den ganzen Raum $T$ ausdehnen. Es kömmt also, selbst für $\lim c=0$, nicht weiter in Betracht.

Vorlage:Idt2Hiernach bleibt in der Gleichung (4) des vorigen Paragraphen von dem Raum-Integrale nur noch übrig<section end=t1 />