Schwere, Elektricität und Magnetismus:087

Satz von Green.

<section begin=t1 /> Vorlage:Idt2Aus (2) und (3) geht dann ohne weiteres der Satz hervor:

Vorlage:MathForm1

Vorlage:Idt2Dieser Satz ist gültig, wenn im Innern des Raumes $T$ die Functionen $U$ und $V$, sowie die ersten Derivirten von $U$ und von $V$ endlich und stetig variabel sind.

Vorlage:Idt2Treten im Innern von $T$ in einzelnen Flächen oder Linien oder Punkten Unstetigkeiten von $U$ oder von $V$ oder von den ersten Derivirten dieser Functionen auf, so hat man den Raum $T$ in zwei Bestandtheile $T_1$ und $T_2$ zu zerlegen, so dass alle Unstetigkeiten der Functionen in $T_2$ liegen. Auf den Raum $T_1$ darf man dann den Satz (4) anwenden, und es ist die Frage aufzuwerfen, welchen Grenzwerthen sich die Integrale annähern, wenn man den Raum $T_2$ unendlich abnehmen lässt. Sind solche bestimmte, endliche Grenzwerthe vorhanden, so gilt der Satz (4) auch für den Raum $T$. Das dreifache Integral ist über den ganzen Raum $T$ zu erstrecken, das Oberflächen-Integral über seine Oberfläche und über die Umhüllungen der Unstetigkeitsstellen.

Vorlage:Idt2Dieser Satz ist von Green aufgestellt im 3. Artikel einer Abhandlung, die zuerst in Nottingham 1828 erschienen und später in Crelle's Journal, Bd. 39, 44, 47, wieder abgedruckt ist.*) <section end=t1 /> <section begin=t2 />

§. 21. Herstellung der Potentialfunction im Innern eines vorgeschriebenen Raumes. Werth in der Oberfläche und partielle Differentialgleichung im Innern gegeben.

Vorlage:Idt2Der Satz von Green dient zu der Lösung der Aufgabe: die Potentialfunction $V^{\prime }$ für jeden Punkt $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ im Innern eines vollständig begrenzten Raumes $T$ zu bestimmen, wenn ihr Werth in jedem Punkte der Oberfläche gegeben und $\frac{{\partial }^{2}V}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}V}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}V}{\partial z^2}$ im Innern von $T$ bekannt ist.<section end=t2 />