Schwere, Elektricität und Magnetismus:085

Hülfssatz aus der Analysis.

<section begin=t1 />Das Zeichen $\sum$ auf der rechten Seite von (2) bedeutet, dass die Werthe der Function $F\frac{\partial x}{\partial n}d\sigma$ an allen Eintritts- und Austrittsstellen summirt werden sollen. Es bleibt dann noch die doppelte Integration nach $y$ und nach $z$ auszuführen. Dies geschieht, wenn man auf der rechten Seite von (2) nicht nur die Beiträge nimmt, welche ein einzelnes Elementarprisma liefert, sondern die Beiträge von allen Prismen, die den Raum $T$ überhaupt treffen. D. h. die Summe auf der rechten Seite der Gleichung (2) wird zu einem Integral, welches über die ganze Oberfläche von $T$ zu erstrecken ist. Danach lautet das Resultat:

Vorlage:MathForm1

Die Integration auf der linken Seite ist über den ganzen Raum $T$, auf der rechten Seite über seine Oberfläche auszudehnen.

Vorlage:Idt2Auf demselben Wege findet man noch die etwas allgemeinere Gleichung:

Vorlage:MathForm1

Dabei ist nur vorausgesetzt, dass die von $x,y,z$ abhängigen Functionen $F_1,F_2,F_3$ im Innern des Körpers endlich und stetig variabel sind. <section end=t1 /> <section begin=t2 />

§. 20. Satz von Green.

Vorlage:Idt2Es seien $U$ und $V$ zwei Functionen von $x,y,z$, deren Werthe wir für jeden Punkt im Innern des Raumes $T$ als gegeben ansehen. Wir betrachten das Integral

Vorlage:MathForm1

welches über den ganzen Raum $T$ erstreckt werden soll. Nun ist

Vorlage:MathForm1

und zwei entsprechende Gleichungen ergeben sich, wenn man die<section end=t2 />