Schwere, Elektricität und Magnetismus:064

Erster Abschnitt. §. 14.

<section begin=t1 />liegt, werde mit

$d\sigma$

bezeichnet. Wir nehmen die Begrenzung von

$d\sigma$

zur Directrix einer Cylinderfläche, deren Erzeugende zu der Normale parallel läuft, und legen zwei Schnittebenen rechtwinklig zur Normale (Fig. 8) im Abstande

$+\epsilon$

und resp.

$-\epsilon$

von dem Fusspunkte.

Datei:Riemann Fig 08.png

Fig. 8.

Dadurch werden zwei unendlich kleine cylindrische Räume abgegrenzt, deren gemeinschaftliche Basisfläche

$d\sigma$

ist, und die nach der Seite der positiven und resp. der negativen Normale zu liegen. Auf jeden dieser beiden Räume wenden wir den Satz von Gauss (§. 12) an. Der Beitrag, welchen die cylindrischen Mantelflächen zu dem Integral liefern, kann vernachlässigt werden, weil wir die Höhe

$\epsilon$

so klein nehmen, dass das Verhältnis der Mantelflächen zu

$d\sigma$

unendlich klein wird. Betrachten wir zuerst den Cylinder, welcher nach der Seite der positiven Normale liegt, so liefert die Basisfläche

$d\sigma$

zu dem Integral den Beitrag

denn die auf $d\sigma$ nach dem Innern des Cylinders gezogene Normale fällt mit der positiven Normale der anziehenden Fläche zusammen. Die Gegenfläche liefert den Beitrag

Vorlage:MathForm1

denn ihre nach dem Innern des Cylinders gezogene Normale fällt in die Richtung der negativen Normale der anziehenden Fläche. Im Innern des Cylinders ist keine anziehende Masse vorhanden, sondern nur in seiner einen Begrenzungsfläche $d\sigma$. Das Quantum dieser Masse ist ${\rho }_{0}d\sigma$, wenn mit ${\rho }_0$ die Dichtigkeit im Fusspunkte der Normale bezeichnet wird. Der Satz von Gauss lautet hier also

Vorlage:MathForm1

und daraus findet sich

Vorlage:MathForm1

Vorlage:Idt2In derselben Weise wenden wir den Satz von Gauss auf den zweiten Cylinder an, der nach der Seite der negativen Normale liegt. Hier ergibt sich

Vorlage:MathForm1

d. h.

Vorlage:MathForm1

<section end=t1 />