Schwere, Elektricität und Magnetismus:059

Verallgemeinerung des Satzes von Laplace.

<section begin=t1 />für die andere

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Folglich liefern die beiden eben betrachteten Flächen zu dem Integral

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den Beitrag

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Ebenso findet sich

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als der Beitrag, welchen die beiden zur $y$Axe rechtwinkligen Begrenzungsflächen liefern, und

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als der Beitrag, welcher von den beiden zur $z$ Axe rechtwinkligen Begrenzungsflächen herrührt. Das Integral (1), über die ganze Begrenzung des Parallelepipedon erstreckt, hat also den Werth

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Dabei ist vorausgesetzt, dass $\frac{{\partial }^{2}V}{\partial x^2},\frac{{\partial }^{2}V}{\partial y^2},\frac{{\partial }^{2}V}{\partial z^2}$ je einen bestimmten endlichen Werth haben, dass also der Punkt $(x,y,z)$ weder in der Oberfläche des anziehenden Körpers noch in einer Unstetigkeitsstelle der Dichtigkeit liege.

Vorlage:Idt2Nach dem Satze des vorigen Paragraphen ist das Integral (1) gleich

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wenn mit $\rho$ die Dichtigkeit im Punkte $(x,y,z)$ bezeichnet wird. Folglich erhält man aus (2) und (3)

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Dies ist die Verallgemeinerung des Satzes von Laplace. Wir haben sie an einem Beispiele bereits in §. 5, Gleichung (8) kennen gelernt. Hier ist sie für jeden Punkt $(x,y,z)$ bewiesen, der innerhalb eines beliebig gestalteten, mit Masse erfüllten Raumes liegt,<section end=t1 />