Schwere, Elektricität und Magnetismus:058

Erster Abschnitt. §. 13.

<section begin=t1 />Für jede Lage des Punktes $(x,y,z)$, in welcher die Componente der Anziehung $N$ einerseits, der Differentialquotient $\frac{\partial V}{\partial n}$ andererseits je einen bestimmten Werth haben, ist

Vorlage:MathForm1

Trifft dies an jeder Stelle der Oberfläche von $T$ ein, so kann man in dem Satze dieses Paragraphen statt $\int Nd\sigma$ auch schreiben $\int \frac{\partial V}{\partial n}d\sigma$. Es trifft ein, wenn kein endlicher Theil der Masse in der Oberfläche von $T$ gelegen ist. Wir werden aber im §. 14 sehen, dass es nicht mehr eintrifft, wenn eine endliche Masse in der Oberfläche von $T$ vertheilt ist. Es muss aber betont werden, dass der Satz dieses Paragraphen sich auf die Componente der Anziehung bezieht. Der Satz rührt von Gauss her.*) <section end=t1 /> <section begin=t2 />

§. 13. Die Gleichung: $\frac{{\partial }^{2}V}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}V}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}V}{\partial z^2}=-4\pi \rho .$

Vorlage:Idt2Die Masse sei in einem Raume von drei Dimensionen stetig vertheilt. Im Innern dieses Raumes betrachten wir ein gerades

Parallelepipedon, von welchem ein Eckpunkt, dem Anfangspunkte

Datei:Riemann Fig 07.png

Fig. 7.

zunächst gelegen, die Coordinaten

$x,y,z$

hat. Die von diesem Eckpunkte (Fig. 7) ausgehenden Kanten von der Länge

$dx,dy,dz$

sollen den rechtwinkligen Coordinatenaxen parallel laufen. Auf dieses Parallelepipedon wenden wir den Satz des vorigen Paragraphen an. Rechtwinklig zur Axe der

$x$

liegen zwei Seitenflächen, jede vom Inhalt

$dydz$

, die eine im Abstande

$x$

, die andere im Abstande

$x+dx$

von der

$yz$

Ebene. Für die erste ist

<section end=t2 /> Vorlage:References