Schwere, Elektricität und Magnetismus:053

Satz von Gauss.

<section begin=t1 /> Vorlage:Idt2Der eben betrachtete Kegel kann die Oberfläche des Raumes $T$ öfter treffen. Dann ist $d\mathrm{\Sigma }$ die centrale Projection aller ausgeschnittenen Oberflächen-Elemente, und es ist in der Gleichung (4) das negative oder das positive Vorzeichen gültig, je nachdem das Element $d\sigma$ an einer Eintritts- oder an einer Austrittsstelle liegt.

Vorlage:Idt2Der Punkt $(a,b,c)$ befinde sich zunächst im Innern des Raumes $T$. Dann tritt der Kegel einmal öfter aus als ein.

Vorlage:Idt2Jede Austritts- und jede Eintrittsstelle liefert einen Beitrag zu dem Integral (3), und zwar sieht man aus Gleichung (4), dass dieser Beitrag gleich $+d\mathrm{\Sigma }$ ist an allen Austrittsstellen und gleich $-d\mathrm{\Sigma }$an allen Eintrittsstellen. Der Inbegriff aller Beiträge, welche die durch den Kegel ausgeschnittenen Oberflächen-Elemente liefern, ist demnach

Vorlage:MathForm1

Denn der Beitrag jeder Eintrittsstelle hebt den Beitrag der vorhergehenden Austrittsstelle auf und es bleibt nur der Beitrag der letzten Austrittsstelle übrig. Der Werth des Integrals (3) ist also

Vorlage:MathForm1

wenn man das letztere über alle die Stellen der Kugel vom Radius 1 erstreckt, welche Projectionen von Oberflächen-Elementen des Raumes $T$ sind. Da aber der Punkt im Innern des Raumes $T$ liegt, so kann der Elementarkegel durch kein Element der Kugelfläche vom Radius 1 hindurchgehen, ohne irgendwo auch die Oberfläche von $T$ zu durchschneiden. D. h. das Integral (5) ist über die ganze Kugelfläche zu erstrecken, und folglich hat man

Vorlage:MathForm1

wenn der Punkt $(a,b,c)$ im Innern des Raumes $T$ liegt.

Vorlage:Idt2Nimmt man aber zweitens den Punkt $(a,b,c)$ ausserhalb des Raumes $T$, so trifft der Elementarkegel die Oberfläche von $T$ entweder gar nicht, oder er tritt ebenso oft aus wie ein. Jede Eintrittsstelle liefert zu dem Integral (3) auch hier den Beitrag $-d\mathrm{\Sigma }$, und jede Austrittsstelle den Beitrag $+d\mathrm{\Sigma }$. Folglich heben sich die Beiträge auf, welche von jedem einzelnen Elementarkegel herrühren, und man hat<section end=t1 />