Schwere, Elektricität und Magnetismus:050

Erster Abschnitt. §. 11.

<section begin=t1 />für einen Punkt $(x,y,z)$ im Innern des mit Masse erfüllten Körpers zu ermitteln. Wir gelangen dazu mit Hülfe eines von Gauss aufgestellten allgemeinen Satzes, welcher zunächst entwickelt werden soll. <section end=t1 /> <section begin=t2 />

§. 11. Das Oberflächen-Integral $\int \frac{1}{r^2}\cos (rn)d\sigma$. Satz von Gauss.

Vorlage:Idt2Wir bezeichnen mit

$T$

einen beliebig, aber vollständig begrenzten Raum und mit

$d\sigma$

ein Element seiner Oberfläche. In irgend einem Punkte dieses Oberflächen-Elementes errichten wir nach dem Innern des Raumes

$T$

die Normale und nehmen auf ihr einen Punkt

$(x,y,z)$

, welcher von dem Fusspunkte der Normale den Abstand

$n$

hat. Es lassen sich dann zwei veränderliche Grössen

$q$

und

$s$

so wählen, dass sie in irgend einem Punkte der Oberfläche je einen und nur einen Werth haben, und dass umgekehrt zu einer bestimmten Werthen-Combination von

$q$

und

$s$

jedesmal nur ein bestimmter Punkt der Oberfläche gehört. Die Lage des Punktes

$(x,y,z)$

lässt sich dann auch dadurch angeben, dass man sagt, welche Werthe die Grössen

$q$

und

$s$

im Fusspunkte der Normale

Datei:Riemann Fig 05.png

Fig. 5.

haben und wie lang die Strecke

$n$

auf der Normale ist. Man hat also jede der drei Coordinaten

$x,y,z$

als eine Function von den drei unabhängigen Variabeln

$q,s,n$

anzusehen. Lässt man

$q$

und

$s$

ihre Werthe beibehalten und ertheilt der dritten Variabeln den Zuwachs

$dn$

, so erhält man auf derselben Normale einen zweiten Punkt, dessen rechtwinklige Coordinaten

$x+dx,y+dy,z+dz$

sind (Fig. 5), und es ist hier speciell

$dx=\frac{\partial x}{\partial n}dn,dy=\frac{\partial y}{\partial n}dn,dz=\frac{\partial z}{\partial n}dn$

. Man erkennt leicht, dass

$dx,dy,dz$

die Projectionen von

$dn$

auf den rechtwinkligen Coordinatenaxen sind. Bezeichnet man also mit

$(xn),(yn),(zn)$

die Winkel, welche die Richtung der Normale mit den positiven Richtungen der

$x$

, der

$y$

, der

$z$

einschliesst, so ergibt sich<section end=t2 />