Schwere, Elektricität und Magnetismus:047

Stetigkeit der Function $V$ etc.

<section begin=t1 />ersten Derivirten $\frac{\partial V_2}{\partial x},\frac{\partial V_2}{\partial y},\frac{\partial V_2}{\partial z}$ stetige Functionen von $(x,y,z)$. Es ist also jedenfalls

Vorlage:MathForm1

Vorlage:Idt2Die Derivirte $\frac{\partial V_1}{\partial x}$ wird ausgedrückt durch das Integral

Vorlage:MathForm1

wenn man die Integration über den Raum $T_1$ ausdehnt. Dieses Integral kann - wie bewiesen - nicht unendlich gross werden, wohin man auch den Punkt $(x,y,z)$ im Innern der Kugel vom Radius $\epsilon$ verlegen möge. Es hat vielmehr einen endlichen Werth, der um so kleiner ist, je kleiner $\epsilon$ genommen wird. Man kann demnach $\epsilon$ so klein wählen, dass für jede Lage des angezogenen Punktes im Innern jener Kugel der Werth von $\frac{\partial V_1}{\partial x}$ kleiner bleibt als eine beliebig kleine Grösse $\delta$. Verschiebt man also den Punkt $(x,y,z)$ beliebig im Innern der Kugel vom Radius $\epsilon$, so wird die Aenderung, welche $\frac{\partial V_1}{\partial x}$ dadurch erfährt, ebenfalls kleiner sein als $\delta$. Man kann aber $\delta$ kleiner werden lassen als irgend eine angebbare Zahl. Es ist damit nur eine unendliche Abnahme des Radius $\epsilon$ verbunden.

Vorlage:Idt2Folglich ist

Vorlage:MathForm1

Aus (3) und (2) ergibt sich ohne weiteres

Vorlage:MathForm1

d. h. $\frac{\partial V}{\partial x}$ ist eine überall stetig variable Function.

Vorlage:Idt2Auf demselben Wege wird der Beweis für $\frac{\partial V}{\partial y}$ und $\frac{\partial V}{\partial z}$ geführt. Die Function $V$ und ihre ersten Derivirten sind also überall endliche und stetige Functionen. Sie erleiden unendlich kleine Aenderungen bei einer unendlich kleinen Verschiebung des Punktes $(x,y,z)$, mag diese Verschiebung innerhalb oder ausserhalb oder in der Oberfläche der anziehenden Masse vorgenommen werden oder durch die Oberfläche hindurchführen.<section end=t1 />